[Równania funkcyjne] równanie funkcyjne

Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
marek12
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 696
Rejestracja: 5 lut 2008, o 15:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: marki
Podziękował: 165 razy
Pomógł: 20 razy

[Równania funkcyjne] równanie funkcyjne

Post autor: marek12 » 9 sie 2010, o 18:58

Znajdz wszystkie funkcje \(\displaystyle{ f : \mathbb{R}_+ \to \mathbb{R}}\) takie ze \(\displaystyle{ f(t) = \int_0^\infty f(x) e^{-tx} dx.}\)\(\displaystyle{ }\)

Awatar użytkownika
szw1710
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 18811
Rejestracja: 1 cze 2010, o 22:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Cieszyn
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 3746 razy

[Równania funkcyjne] równanie funkcyjne

Post autor: szw1710 » 10 sie 2010, o 22:16

Może da się to zrobić elementarnie, ale po prawej mamy transformatę Laplace'a funkcji \(\displaystyle{ f}\), a po lewej tę samą funkcję. Chodzi więc o wyznaczenie punktów stałych transformaty Laplace'a: funkcji, które same są swoimi obrazami (oryginał równy jego obrazowi).

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

[Równania funkcyjne] równanie funkcyjne

Post autor: luka52 » 13 sie 2010, o 11:34

Jeśli kogoś ten problem interesuje, to w artykule
Complex Variable and Regularization Methods of Inversion of the Laplace Transform
D. D. Ang, John Lund, Frank Stenger
Mathematics of Computation, Vol. 53, No. 188 (Oct., 1989), pp. 589-608

można znaleźć trzy różne podejścia do tego równania.
W nieco zmienionej wersji równania, tj. \(\displaystyle{ f(t) = \lambda \mathcal{L} \{ f \}}\) można zauważyć, że \(\displaystyle{ f(t) = t^{-1/2}}\) przy \(\displaystyle{ \lambda = \pi^{-1/2}}\) jest rozwiązaniem.

ODPOWIEDZ