Równanie liniowe n-tego rzędu

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
tasmman
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 9 sie 2010, o 13:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

Równanie liniowe n-tego rzędu

Post autor: tasmman » 9 sie 2010, o 14:19

Witam. Mam problem z zadaniem :
Wyznaczyć rozwiązanie ogólne równania : \(\displaystyle{ x^2y' + xy' - y = 0}\) wiedząc, że \(\displaystyle{ y_{1}(x) =x}\) jest rozwiązaniem tego równania.
Z tego co wiem muszę znaleźć drugie rozwiązanie, a później wrońskim potraktować, żeby sprawdzić liniową niezależność. Ale niestety nie wiem jak znaleźć drugie rozwiązanie ... Z góry dzięki za wskazówki.

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

Równanie liniowe n-tego rzędu

Post autor: luka52 » 9 sie 2010, o 14:33

Podstaw w równaniu \(\displaystyle{ y = y_1 \cdot u}\), a następnie wyznacz \(\displaystyle{ u}\). By sprawdzić liniową (nie)zależność rozwiązań, zbadaj wrońskian.

tasmman
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 9 sie 2010, o 13:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

Równanie liniowe n-tego rzędu

Post autor: tasmman » 9 sie 2010, o 17:09

Hmmm, nie bardzo rozumiem jak mam to zrobić. Próbowałem, ale coś nie wychodzi. Mam podstawić za \(\displaystyle{ y = x \cdot u}\) i \(\displaystyle{ y' = u + x \cdot \frac{du}{dx}}\) i \(\displaystyle{ y'' = \frac{du}{dx} + \frac{du}{dx} + x \cdot \frac{d^2u}{dx^2}}\) ? Chyba nie tak ... ;/

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

Równanie liniowe n-tego rzędu

Post autor: luka52 » 9 sie 2010, o 17:17

Jest ok, teraz tylko wstaw te pochodne do równania i rozwiąż je ze względu na funkcję \(\displaystyle{ u}\).

ODPOWIEDZ