policzyć całkę z pierwiastkiem

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
Awatar użytkownika
kluczyk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 441
Rejestracja: 20 paź 2006, o 22:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Małopolska
Podziękował: 77 razy
Pomógł: 12 razy

policzyć całkę z pierwiastkiem

Post autor: kluczyk » 9 sie 2010, o 10:21

\(\displaystyle{ \int_{}^{} \sqrt{ \frac{8 \cdot a-3 \cdot x}{(2 \cdot a-x)^{3}} } \mbox{d}x}\)

Awatar użytkownika
mariuszm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6755
Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
Pomógł: 1224 razy

policzyć całkę z pierwiastkiem

Post autor: mariuszm » 9 sie 2010, o 14:55

Po namyśle lepiej będzie najpierw scałkować to przez części a dopiero podstawienie

\(\displaystyle{ \int{ \frac{ \sqrt{8a-3x} }{ \left(2a-x \right) \sqrt{2a-x} } \mbox{d}x }= 2 \cdot \frac{ \sqrt{8a-3x} }{ \sqrt{2a-x} }+\int{ \frac{3}{ \sqrt{ \left(8a-3x \right) \left(2a-x \right) } } \mbox{d}x }}\)

I tu od razu nasuwa się trzecie podstawienie Eulera


\(\displaystyle{ \int{ \frac{3}{ \sqrt{ \left(8a-3x \right) \left(2a-x \right) } } \mbox{d}x }}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{ \left(8a-3x \right) \left(2a-x \right) }= \left(2a-x \right)t}\)

\(\displaystyle{ \left(8a-3x \right) \left(2a-x \right) = \left(2a-x \right)^2t^2}\)

\(\displaystyle{ 8a-3x= \left(2a-x \right)t^2}\)

\(\displaystyle{ 8a-3x= 2at^2-xt^2}\)

\(\displaystyle{ x\left(t^2-3 \right) = 2at^2-8a}\)

\(\displaystyle{ x= \frac{2at^2-8a}{t^2-3}=2a- \frac{2a}{t^2-3}}\)

\(\displaystyle{ \mbox{d}x =-2a \cdot \left(-1 \right) \cdot \left(t^2-3 \right) \cdot \left(2t \right)= \frac{4at}{ \left(t^2-3 \right)^2 } \mbox{d}t}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{ \left(8a-3x \right) \left(2a-x \right) }= \frac{2at}{t^2-3}}\)

\(\displaystyle{ =\int{ \frac{t^2-3}{2at} } \cdot \frac{4at}{ \left(t^2-3 \right)^2 } \mbox{d}t}\)

\(\displaystyle{ =2\int{ \frac{ \mbox{d}t}{t^2-3} }}\)

\(\displaystyle{ =\int{ \frac{A}{t- \sqrt{3} } \mbox{d}t}+ \frac{B}{t+ \sqrt{3} \mbox{d}t}}\)

\(\displaystyle{ At+ \sqrt{3}A+Bt- \sqrt{3}B=2}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} A+B=0 \\ \sqrt{3}A- \sqrt{3}B=2 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} B=-A \\ 2 \sqrt{3}A=2 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} A= \frac{1}{ \sqrt{3} } \\ B=- \frac{1}{ \sqrt{3} } \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ = \frac{1}{ \sqrt{3} }\ln{ \left| \frac{t- \sqrt{3} }{t+ \sqrt{3} } \right| }}\)

\(\displaystyle{ \int{ \frac{ \sqrt{8a-3x} }{ \left(2a-x \right) \sqrt{2a-x} } \mbox{d}x }= 2 \cdot \frac{ \sqrt{8a-3x} }{ \sqrt{2a-x} }+ \sqrt{3}\ln{ \left| \frac{ \sqrt{8a-3x}- \sqrt{6a-3x} }{\sqrt{8a-3x}+\sqrt{6a-3x}} \right| }+C}\)

Może jeszcze da się ten logarytm uprościć
(programy takie jak Maple nie upraszczają dobrze tego po zróżniczkowaniu )

Logarytm można jeszcze uprościć

\(\displaystyle{ \int{ \frac{ \sqrt{8a-3x} }{ \left(2a-x \right) \sqrt{2a-x} } \mbox{d}x }= 2 \cdot \frac{ \sqrt{8a-3x} }{ \sqrt{2a-x} }- \sqrt{3}\ln{ \left|-3x+7a+ \sqrt{ \left(8a-3x \right) \left(6a-3x \right) } \right| } +C}\)

Można też od razu zastosować trzecie podstawienie Eulera

\(\displaystyle{ \sqrt{ \left(8a-3x \right) \cdot \left(2a-x \right) } = \left(2a-x \right)t}\)

a następnie rozkład na sumę ułamków prostych

Można będzie wtedy obejść się bez całkowania przez części

ODPOWIEDZ