Mamy dwa wektory \(\displaystyle{ \vec{a}}\) i \(\displaystyle{ \vec{b}}\), takie że \(\displaystyle{ \vec{a} + \vec{b} = (c,d,e)}\) oraz \(\displaystyle{ \vec{a} - \vec{b} = (f,g,h)}\).
1) Szukam wektorów \(\displaystyle{ \vec{a}}\) i \(\displaystyle{ \vec{b}}\).
W tym celu rozwiązuję układy równań:
\(\displaystyle{ \left{ \begin{array}{l} a_x + b_x = c \\ a_x - b_x = f \end{array} \right.}\)
\(\displaystyle{ \left{ \begin{array}{l} a_y + b_y = d \\ a_y - b_y = g \end{array} \right.}\)
\(\displaystyle{ \left{ \begin{array}{l} a_z + b_z = e \\ a_z - b_z = h \end{array} \right.}\)
I otrzymuję \(\displaystyle{ \vec{a} = (a_x, a_y, a_z)}\) i \(\displaystyle{ \vec{b} = (b_x, b_y, b_z)}\).
2) Szukam kąta pomiędzy wektorem \(\displaystyle{ \vec{a}}\) i \(\displaystyle{ \vec{a} + \vec{b}}\)
Jeśli nie chodzi tu o miarę kąta, a cosinus kąta, to wystarczy skorzystać z twierdzenia cosinusów dla trójkąta o długości boków równej długości wektorów \(\displaystyle{ \vec{a}}\), \(\displaystyle{ \vec{b}}\) oraz \(\displaystyle{ \vec{a} + \vec{b}}\), gdzie np. długość wektora \(\displaystyle{ \vec{a}}\) to \(\displaystyle{ \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}}\).
Czy dobrze?
3) Sprawdź sumę kątów w trójkącie zbudowanm na wektorach \(\displaystyle{ \vec{a}}\), \(\displaystyle{ \vec{b}}\) oraz ich sumie \(\displaystyle{ \vec{a} + \vec{b}}\).
Można obliczyć cosinusy kątów jak w 2), a potem rozwinąć w szereg Taylora odpowiednią funkcję do wielomianu odpowiednio wysokiego stopnia i rozwiązać takie równanie. Ale nie da się udowodnić tezy w ten sposób - będą to przybliżenia. Jak to zrobić?