Matematyka.pl

Czy wynika ona już z istnienia i jednoznaczności rozwiązań? Przypuszczam, że nie ale proszę o przykład z wyjaśnieniem.

Twierdzenie o ciągłej zależności znajdź. I wszystkie założenia sprawdź.

Znam twierdzenie o ciągłej zależności. Rozumiem, że tam są inne założenia. Ale chyba nie zrozumiałeś pytania. (Co jest irytujące, proszę nie odpowiadaj jednym zdaniem. To brzmi lekceważąco i często nie jest pomocne.)

Jest tak, że z założeń twierdzenia o ciągłej zależności wynika również istnienie i jednoznaczność.

Weźmy równanie różniczkowe y'=f(x,y)
Czyli mamy: ograniczoność, ciągłość f, Lipschickowatość f względem y => istnienie i jednoznaczność rozwiązań (z kwantyfikatorami).
Oraz mamy: ograniczoność, ciągłość f, Lipschickowatość f względem y => ciągła zależność rozwiązań od danych początkowych

Ale to nie rozwiązuje (przynajmniej nie natychmiast) mojego problemu (być może trywialnego): czy prawdziwa jest implikacja
istnienie i jednoznaczność rozwiązań => ciągła zależność rozwiązań od danych początkowych

Domyślam się, że nie jest, bo ani nie widzę powodu, żeby była, ani nie podejrzewam, żeby podawano słabsze i trudniejsze twierdzenie zamiast mocniejszego i prostszego. Ale kontrprzykładu nie znam. Jestem wyjątkowo słaby w te klocki i sam go na pewno nie znajdę.

Jest tak, że z założeń twierdzenia o ciągłej zależności wynika również istnienie i jednoznaczność.

To jest jedno z założeń....więc wynikanie \(\displaystyle{ p \Rightarrow p}\) jest bardzo oczywiste.

czy prawdziwa jest implikacja
istnienie i jednoznaczność rozwiązań => ciągła zależność rozwiązań od danych początkowych

Zatem odpowiedziałem. Patrzysz się co musi być spełnione, żeby była ciągła zależność. (twierdzenie mówisz, że znasz). Jeśli jest coś więcej niż Istnienie i jednoznaczność rozwiązań i to coś nie wynika z tw. o istnieniu i jednoznaczności rozwiązań to masz odpowiedź. Bo jak zerkniesz na dowód tego twierdzenia to możesz zobaczyć co tam się wykorzystuje i w danym miejscu dowodu (tam gdzie pozbywasz się pierwotnych założeń) możesz doszukiwać się kontrprzykładu .
Stąd napisałem, żeby skupić się na treści twierdzenia.

Dziękuję, za odpowiedź.

Dalej nie rozumiem. Tu mam twierdzenie (strona 3): ... dy/w01.pdf

Nie do końca rozumiem, to co napisałeś. Co to znaczy "jeśli jest coś więcej niż"? Gdzie jest? Rozumiem, że Ty wiesz, o co Ci chodzi, ale dla mnie to niejasne. Dowodu niestety nie mam i nie sądzę, żebym w tym momencie potrafił go przeprowadzić.

Ponieważ widzę, że mamy problemy z komunikacją, chciałbym, żebyśmy uzgodnili fakty, bo ja już jestem zgubiony Mamy trzy formuły, które chcemy jakoś połączyć znakami implikacji opatrzonymi jakimiś tam kwantyfikatorami (które chwilowo są nieistotne).
P - założenia twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności
Q - teza twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności
R - teza twierdzenia o ciągłej zależności

Z linku, który podałem, rozumiem, że mam następujące implikacje
P => Q
P => R

Mnie interesuje implikacja Q => R. Prawdziwość lub fałszywość tej implikacji nie wynika bezpośrednio z dwóch powyższych. Zdaje się, że mówisz, że jest to mimo to oczywiste i wynika to z samego rachunku zdań. Nie rozumiem tego.

Już widzę w czym problem. Założenia mylisz z tezą.
W twierdzeniu masz jasno napisane, że są spełnione założenia z twierdzenia o Istnieniu i jednoznaczności. Zatem i spełniona jest teza tego twierdzenia. A skoro jest spełniona teza ( a bez założeń ta teza nie może być spełniona ) zatem implikacja o którą się pytasz jest prawdziwa. Ale strasznie to zamotałeś (nie wiem nawet czy odpowiedziałem na Twoje pytanie)

Kurde, mam wrażenie, że czytamy dwie różne rzeczy.

miodzio1988 pisze: W twierdzeniu masz jasno napisane, że są spełnione założenia z twierdzenia o Istnieniu i jednoznaczności.

Moment, co to znaczy, "są spełnione"? Raz są, raz nie są chyba??

Zatem i spełniona jest teza tego twierdzenia.

Trudno się nie zgodzić. O ile założenia są spełnione, to i teza zachodzi. A to dlatego, że twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności jest prawdziwe

A skoro jest spełniona teza ( a bez założeń ta teza nie może być spełniona ) zatem implikacja o którą się pytasz jest prawdziwa.

Jeśli mówisz, że bez założeń teza nie może być spełniona, to twierdzisz, że twierdzenie odwrotne do twierdzenia o jednoznaczności jest prawdziwe. To chyba nieprawda?? Nie no, to na pewno nieprawda.

Mówisz, że założenia "są spełnione" tak jakby to zawsze była prawda, że funkcja dwóch zmiennych jest ograniczona, ciągła i Lipschickowata względem drugiej zmiennej. Dla równań różniczkowych, w których prawa strona jest taką funkcją wszystko jest jasne. Rozwiązania wtedy istnieją, są jednoznacznie wyznaczone i zależą w sposób ciągły od warunków początkowych. Co do tego przypadku (takiej funkcji f) jak rozumiem się zgadzamy.

Problem w tym co się dzieje, gdy funkcja f nie spełnia założeń twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności.
To twierdzenie jest implikacją w jedną tylko stronę, a więc rozumiem, że implikacja w drugą stronę nie zachodzi. Czy się mylę? Czy twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności ma tak naprawdę postać równoważności?

Jeśli się nie mylę i to tw. jest tylko w jedną stronę, to istnieją takie funkcje f, które nie spełniają założeń tw. o ist. i jedn. a mimo to rozwiązania istnieją i są jednoznacznie wyznaczone. I teraz jest miejsce na moje pytanie:

czy dla takiej funkcji f rozwiązania równania muszą zależeć w sposób ciągły od rozwiązań?

Jak widzisz okazało się, że po drodze pojawiło się drugie pytanie.

Wydaje mi się, że z pominięciem faktu, że napisałem strasznie dużo, jest to jasne. Jeśli nie, proszę, postaraj się to zrozumieć mimo to, bo jeśli pisałem to na marne to mnie trafi szlag