Dwumian newtona ( szereg ) c.d Udowodnij

[Quaerens]

\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{p} {n \choose k} {n-k \choose p-k}=2^{p} {n \choose p} \\ \sum_{k=0}^{p} {n \choose p} {p \choose k}=(1+1)^{p} {n \choose p} \\ P= {n \choose p}1^{n-p}1^{p}}\)

Coś chyba źle bo za szybko poszło. Jak można sprawdzić prawdziwość tego szeregu?

[Fingon]

Jest dobrze, po wykorzystaniu tego, że \(\displaystyle{ {n \choose k} {n-k \choose p-k} = {n \choose p} {p \choose k}}\), co było udowodnione w poprzednim wątku. Wystarczy wyciągnąć \(\displaystyle{ {n \choose p}}\) przed sumę, reszta wynika wprost z definicji dwumianu Newtona.

[Quaerens]

Możesz jednoznacznie określić czy, gdy wyciągnę przed sumę owy nawias, to będzie poprawnie?

[Fingon]

Wyciąganie przed sumę \(\displaystyle{ c = {n \choose p}}\) jest prawidłowe, ponieważ dla danych n i p, c jest stałe, a stałą przed sumę możemy wyciągać. Suma, która nam zostanie to jest wprost
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^p {p \choose k} = \sum_{k=0}^p {p \choose k}1^k \cdot 1^{p-k} = (1+1)^p = 2^p}\)

Prościej nie potrafię, zresztą jak dla mnie to sam rozwiązałeś zadanie. Nie bardzo wiem, w czym jeszcze tkwi problem.

[Quaerens]

To jeszcze ten:

\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{p}(-1)^{k} {n \choose k} {p \choose k} =0 \\ -1^{n-k}0^{k} {n \choose p} {p \choose k}=0}\)

Z tym iż jest to szczególny przypadek, gdzie zero, do potęgi zero=1

[Fingon]

Jeżeli to zadanie z Krysickiego to pomyliłeś się przy przepisywaniu.
Zadanie to: Udowodnij, że
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^p (-1)^k {n \choose k}{n - k \choose p - k} = 0}\)
Korzystamy już z wielokrotnie powtarzanej właściwości, że
\(\displaystyle{ {n \choose k}{n - k \choose p - k} = {n \choose p} {p \choose k}}\)
Wyciągamy \(\displaystyle{ {n \choose p}}\) Przed sumę, a w sumie zostaje nam \(\displaystyle{ \sum_{k=0}^p (-1)^k {p \choose k} = \sum_{k=0}^p (-1)^k\cdot 1^{p-k} {p \choose k} = (1 - 1)^p = 0}\)

[Quaerens]

Teraz to już całkiem to zrozumiałem