Granica Ciągu

[MadEagle]

Oblicz granicę ciągu:

\(\displaystyle{ a_{n}= \frac{2^{n}3^{2^{n}}}{n!}}\)


Mógł by ktoś pomóc w rozwiązaniu i zrozumieniu kolejności działań?

[frej]

hint: pokaż indukcyjnie, że \(\displaystyle{ \frac{3^{2^n}}{n!}> n}\)

[MadEagle]

Dochodzę do:

\(\displaystyle{ an= \frac{2^{n}3^{2^{n}}}{n!} = \frac{2^{n} \left(3^{n} \right)^{2} }{n!} = \frac{2^{n}9^{n}}{n!} = \frac{18^{n}}{n!}}\)

I co należy zrobić z silnią?

[wszamol]

jeśli się nie mylę, to:

\(\displaystyle{ \frac{2^{n}3^{2^{n}}}{n!} \neq \frac{2^{n} \left(3^{n} \right)^{2} }{n!}}\)

[MadEagle]

Kurcze, to jak do tego podejść?

/edit:

\(\displaystyle{ \frac{3\cdot 2^{2n}+1}{4^{n+1}}=\frac{3\cdot (2^{n})^2+1}{4^{n} \cdot 4}=\frac{3\cdot 4^{n}+1}{4^{n} \cdot 4}}\)

To nie taka sama zasada?

[frej]

\(\displaystyle{ 2n \neq 2^n}\)
A co do zadania, to zauważ, że
\(\displaystyle{ a_{n+1}=\frac{3^{2^{n+1}}}{(n+1)!}=\left( \frac{3^{2^n}}{n!} \right)^2 \frac{n!}{n+1}}\)

[MadEagle]

\(\displaystyle{ 2n \neq 2^n}\)
A co do zadania, to zauważ, że
\(\displaystyle{ a_{n+1}=\frac{3^{2^{n+1}}}{(n+1)!}=\left( \frac{3^{2^n}}{n!} \right)^2 \frac{n!}{n+1}}\)

Niestety wciąż nie mam pojęcia co zrobić z tą silnią

-- 5 sie 2010, o 14:42 --

Dorzucam tu jeszcze jedną rzecz która mnie ciekawi, nie chce zaśmiecać forum nowymi tematami.

Tytuł: Przykłady obliczania granic ciągów

\(\displaystyle{ \mbox{7. }a_n= \sqrt{n^2+n}-n}\)
Mamy:
\(\displaystyle{ \sqrt{n^2+n}-n= (\sqrt{n^2+n}-n)\frac{\sqrt{n^2+n}+n}{\sqrt{n^2+n}+n}}\)
gdzie przedostatnie przejście wynika ze wzoru skróconego mnożenia: \(\displaystyle{ (a-b)(a+b)=a^2-b^2}\)

\(\displaystyle{ \mbox{8. }a_n= \sqrt[3]{n^3+4n^2}-n}\)
Postępujemy podobnie jak w poprzednim przykładzie, ale tym razem korzystamy ze wzoru: \(\displaystyle{ (a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3}\).
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{n^3+4n^2}-n=( \sqrt[3]{n^3+4n^2}-n) \frac{\sqrt[3]{n^3+4n^2}^2+n\sqrt[3]{n^3+4n^2}+n^2}{\sqrt[3]{n^3+4n^2}^2+n\sqrt[3]{n^3+4n^2}+n^2}}\)

chciałbym się dowiedzieć jak zostały wykonane te działania. W przykładzie 7 jest inaczej niż w 8. Czy tam są zastosowane inne wzory, twierdzenia?

w 7 jest:

\(\displaystyle{ \sqrt{a^2+b}-c= (\sqrt{a^2+b}-c)\frac{\sqrt{a^2+b}+c}{\sqrt{a^2+b}+c}}\)

zaś w 8 jest:

\(\displaystyle{ \sqrt[3]{a^3+4b^2}-c=( \sqrt[3]{a^3+4b^2}-c) \frac{\sqrt[3]{a^3+4b^2}^2+n\sqrt[3]{a^3+4b^2}+c^2}{\sqrt[3]{a^3+4b^2}^2+c\sqrt[3]{a^3+4b^2}+c^2}}\)

-- 6 sie 2010, o 12:43 --

pomoże ktoś?-- 6 sie 2010, o 14:20 --\(\displaystyle{ an=\frac{2^{n}3^{2n}}{n!}= \frac{2^{n}*6^{n}}{n!}= \frac{18^{n+1}}{(n+1)!}* \frac{n!}{18^{n}}=18* \frac{n!}{n!(n+1)}= \frac{18}{n+1} }=0}\)

Ktoś zrobił zadanie na innym forum ale nie wyjaśnił, skąd się wzięło np. \(\displaystyle{ \frac{n!}{18^{n}}}\) i jak doszedł do \(\displaystyle{ 18* \frac{n!}{n!(n+1)}}\)