Matematyka.pl

Rozłożyć na czynniki pierwsze liczbę 20!

Czy mam to zamienić i rozkładać?
20!=2432902008176640000

A może ręcznie? Coś takiego wychodzi:

\(\displaystyle{ 20!=2 ^{18} \cdot 3 ^{8} \cdot 7 ^{2} \cdot 11 \cdot 13 \cdot 17 \cdot 19}\)

Jestem silnie przekonany, że ci potęg 5 zabrakło w rozkładzie. Co chodzi o metodę, to gdybym miał to robić ręcznie, to wypisałbym iloczyn kolejnych 20 liczb i to je rozkładał na czynniki, co w znacznym stopniu ułatwiłoby zadanie. Jednak nie widzę sensu wykonywania takiego zadania ręcznie, dlatego faktoryzację wykonałem przy użyciu komputera:
\(\displaystyle{ 20! = 2 ^ {18} \cdot 3 ^ 8 \cdot 5 ^ 4 \cdot 7 ^ 2 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 17 \cdot 19}\)

Dzięki A masz może kalkulator do oznaczenia liczb naturalnych względnie pierwszych?

Liczba pierwsza \(\displaystyle{ p}\) wchodzi do rozkładu liczby \(\displaystyle{ n!}\) na czynniki pierwsze z wykładnikiem równym \(\displaystyle{ \alpha}\), gdzie

\(\displaystyle{ \alpha=[\frac{n}{p}]+[\frac{n}{p^2}]+[\frac{n}{p^3}]+...}\)

Może to Ci się przydać, zwłaszcza przy większych liczbach.

Mam wyznaczyć liczby pierwsze z liczby 100, ale nie wiem co oznaczają zmienne, więc nie wiem jak zastosować wzór.

Dla przykładu, interesuje mnie, ile razy liczba pierwsza pięć występuje w rozkładzie na czynniki pierwsze \(\displaystyle{ 100!}\):
\(\displaystyle{ n = 100 \\ p = 5 \\
\alpha = \left[ \frac{100}{5} \right] + \left[ \frac{100}{5^2} \right] + \left[ \frac{100}{5^3} \right] + \ldots = [20] + [4] + \left[ \frac{4}{5} \right] + \ldots = 20 + 4 + 0 + \ldots = 24}\)
Czyli - w rozkładzie na czynniki pierwsze liczby \(\displaystyle{ 100!}\) występuje \(\displaystyle{ 5^{24}}\).

gabi11 pisze:Mam wyznaczyć liczby pierwsze z liczby 100, ale nie wiem co oznaczają zmienne, więc nie wiem jak zastosować wzór.

Wypisujesz liczby od 2 do 100

Bierzesz 2 i skreślasz jej wielokrotności (dwójkę oczywiście zostawiasz)
Następnie bierzesz kolejną nieskreśloną liczbę i postępujesz podobnie
dopóki będziesz miał/a co skreślać

Mam rozłożyć liczbę 100, a nie 100!
Czyli biorę każdą liczbę pierwszą i podstawiam do wzoru. Tylko nie wiem co potem, czy części po przecinku odrzucam?
\(\displaystyle{ n = 100 \\ p = 2 \\
\alpha = \left[ \frac{100}{2} \right] + \left[ \frac{100}{2^2} \right] + \left[ \frac{100}{2^3} \right] + \ldots = 50 + 25 +12,5+6,25+3,125+1,525=98,4 ?}\)

xanowron pisze: do rozkładu liczby \(\displaystyle{ n!}\)

Oto powód dla którego dla liczby 100 wzór nie zadziałał. Poza tym 100 można rozłożyć na czynniki ręcznie (chyba nie ma ogólnej metody istotnie lepszej niż sprawdzanie czy kolejne liczby pierwsze wchodzą w rozkład danej liczby, a następnie dzieleniu przez nie i powtarzaniu tej procedury).

Co do pierwszego zadania to wystarczy zastosować podane wyżej twierdzenie Legendre'a dla wszystkich liczb pierwszych mniejszych od 20 (innych o dziwo w rozkładnie na czynniki nie będzie).

Mimo wszystko chcę to zrobić wzorem. Jaki błąd popełniłam?

Korzystasz ze złego wzoru zamiast
\(\displaystyle{ \alpha=\left[\frac{n}{p}\right]+\left[\frac{n}{p^2}\right]+\left[\frac{n}{p^3}\right]+...}\)

liczysz \(\displaystyle{ \alpha=\frac{n}{p}+\frac{n}{p^2}+\frac{n}{p^3}+...}\)

Te nawiasy to nie ozdoba, a .

Co do pytania o "kalkulator liczb oznaczających liczby względnie pierwsze", to muszę przyznać, że nie zrozumiałem prośby, a nie będę odpowiadał domyślając się pytania.

Fingonie, jeżeli Autorka chce rozłożyć \(\displaystyle{ 100}\), a nie \(\displaystyle{ 100!}\) (jak mi się przywidziało), to tym wzorem jej się nie uda (sto nie jest silnią żadnej liczby naturalnej).

Althorion to zostało już wytknięte w poprzednim poście, jednak przy używaniu powyższego wzoru do rozłożenia na czynniki 100!, autorka tematu, też miałaby problem z policzeniem \(\displaystyle{ \alpha}\), ze względu na niewłaściwą interpretację wzoru.

Właśnie o takie rozpisanie mi chodziło.
Czyli teraz jest dobrze?
\(\displaystyle{ n = 100 \\ p = 2 \\
\alpha = \left[ \frac{100}{2} \right] + \left[ \frac{100}{2^2} \right] + \left[ \frac{100}{2^3} \right] + \ldots = 50 + 25 +12+6+3+1=97 \\p=3}\)
\(\displaystyle{ \alpha = \left[ \frac{100}{3} \right] + \left[ \frac{100}{3^2} \right] + \left[ \frac{100}{3^3} \right] = 33 + 11+3+1 \\p=5}\)
\(\displaystyle{ \alpha = \left[ \frac{100}{25} \right] + \left[ \frac{100}{5^2} \right] + \left[ \frac{100}{5^3} \right] = 20+4\\p=7}\)
\(\displaystyle{ \alpha = \left[ \frac{100}{7} \right] + \left[ \frac{100}{7^2} \right] =14+2=16\\p=11}\)
\(\displaystyle{ \alpha = \left[ \frac{100}{11} \right] + \left[ \frac{100}{11^2} \right] = 9\\
\\p=13}\)
\(\displaystyle{ \alpha = \left[ \frac{100}{13} \right] + \left[ \frac{100}{13^2} \right] = 7\\
p=17\\}\)
\(\displaystyle{ \alpha = \left[ \frac{100}{17} \right] + \left[ \frac{100}{17^2} \right] =5\\
p=19\\}\)
\(\displaystyle{ \alpha = \left[ \frac{100}{19} \right] + \left[ \frac{100}{19^2} \right] = 5\\}\)
suma p =211?

Ile osób ma Ci jeszcze napisać, że ten wzór służy do silni? Przeczytaj dokładnie, co napisał xanowron. Liczysz dla \(\displaystyle{ 100!}\) zamiast dla \(\displaystyle{ 100}\).



Pozdrawiam.