Matematyka.pl

Mam jedną konkretną funkcję zespoloną i chciałbym ją zastąpić drugą konkretną funkcją żeby ich wykresy były maksymalnie podobne w danym przedziale.

1)
\(\displaystyle{ y(\omega) = \omega^{r}K + i\omega^{l}X}\)


2)
\(\displaystyle{ y(\omega) = \frac{\omega^{2}L^{2}_{2}R}{R^{2} + \omega^{2}L^{2}_{2}} + i(\omega L_{1} + \frac{\omega L_{2}R^{2}}{R^{2}+\omega^{2}L^{2}_{2}})}\)

\(\displaystyle{ 0 \le \omega \le 125664}\)


Jak to zrobić?

1. To zależy, który parametr w której funkcji możesz zmieniać.
2. Pytanie też, co oznacza maksymalnie podobne? Czy chodzi o to, żeby średnia różnica była jak najmniejsza? Największa różnica jak najmniejsza? A może pole pomiędzy krzywymi jak najmniejsze?
3. Jakby nie było, nie wiem, czy jest jakaś fajna metoda na to. Pewnie pozostanie Ci badanie symulacyjne.

1.
W pierwszej funkcji z góry ustalona są parametry: K, X, r, l
W drugiej poszukuję wartości L1, L2, R

2.
Wykresy mają jak najbardziej pokrywać się.

3.
Stosując program do symulacji i optymalizacji potrafię znaleźć odpowiednie współczynniki ale chciałbym żebym mógł to zrobić bez komputera.

Wpadłem na pomysł że funkcję zespoloną można rozłożyć na dwie funkcje i oddzielnie dopasować część rzeczywistą do rzeczywistej a urojoną do urojonej.

Myślę, że pierwszą funkcję można sprowadzić do postaci liniowej i zastosować metodę najmniejszych kwadratów lub coś w tym rodzaju ale czy z drugą można zrobić to samo?

Jeszcze raz - nie ma definicji "lepszości" dopasowania.

(sorry, paint na szybko)
Dopasowuję do zielonej:
- według twojej definicji, najlepsze dopasowanie to fioletowa, bo pokrywa się z zieloną na największej części
- różowa się nie pokrywa, ale jest blisko, choć na końcu ucieka
- brązowa się mało pokrywa, ale nie odbiega za bardzo
I która jest najlepsza z nich? Co chcesz dopasować? Szacując MNK nie masz wcale funkcji, która się pokrywa na jak największym obszarze (choć pokrywania funkcji wielomianowych się nie da uzyskać, ale to nieważne), tylko tę, dla której suma kwadratów odchyleń w podanych przez Ciebie punktach pomiaru jest najmniejsza.

Za najlepiej dopasowaną krzywą uważam tą zaznaczoną strzałką

dlaczego?

Bo w określonym przedziale (dużym) spełnia warunek:
\(\displaystyle{ \left| y_{1}(\omega) - y_{2}(\omega) \right| \le minimum}\)
dla najmniejszego minimum

Ok, czyli warunkiem jest, aby różnica wartości bezwzględnych w ustalonych punktach była mniejsza, niż jakaś ustalona wartość?
Tak czy siak - masz trzy parametry, którymi możesz ustawiać funkcję, żadna metoda (oprócz zwykłego testowania) chyba Ci wówczas nie pomoże.

Jeśli wiadomo że stałe X i K są zawsze większe od zera a wykładniki potęgi r i l są z przedziału [0,1] to daje jakieś ułatwienie w szukaniu parametrów drugiej funkcji?

Jaką metodę dopasowania stosuje się by pole pomiędzy krzywymi było jak najmniejsze?

Raczej nic to nie daje.
Przecież tobie nie chodzi o to, aby pole było najmniejsze...

Wiadomo że obie funkcje startują od zera więc może spróbować dopasowywać ich pochodne?