równanie funkcyjne

Wszelkiego rodzaju zadania nie dotyczące funkcji w działach powyżej lub wiążace więcej niż jeden typ funkcji. Ogólne własności. Równania funkcyjne.
Awatar użytkownika
hubertwojtowicz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 269
Rejestracja: 29 wrz 2008, o 16:57
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa\Słupsk
Podziękował: 59 razy
Pomógł: 32 razy

równanie funkcyjne

Post autor: hubertwojtowicz » 3 sie 2010, o 20:40

Mam do rozwiązania równanie:
\(\displaystyle{ f(x+1)-f(x)=\sqrt x, \ x\in R}\)
Czy ktoś może ma jakiś pomysł?

lukasz1804
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 4438
Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 1313 razy

równanie funkcyjne

Post autor: lukasz1804 » 3 sie 2010, o 20:57

Może warto zacząć od prostszego przypadku, gdy funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest ciągiem liczbowym? Równanie \(\displaystyle{ a_{n+1}-a_n=\sqrt{n}}\) dla \(\displaystyle{ n\in\mathbb{N}}\) być może uda się rozwiązać metodą funkcji tworzących.
Jeśli otrzymamy wzór ogólny ciągu \(\displaystyle{ (a_n)_{n\in\mathbb{N}}}\), można próbować na jego podstawie odgadnąć wzór funkcji spełniającej dane równanie funkcyjne. Ale czy to będzie jedyna taka funkcja, tego nie wiem.

frej

równanie funkcyjne

Post autor: frej » 4 sie 2010, o 21:34

Wystarczy jakkolwiek zdefiniować \(\displaystyle{ f}\) na zbiorze \(\displaystyle{ [0,1)}\) a potem to już rekurencyjnie.

Awatar użytkownika
hubertwojtowicz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 269
Rejestracja: 29 wrz 2008, o 16:57
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa\Słupsk
Podziękował: 59 razy
Pomógł: 32 razy

równanie funkcyjne

Post autor: hubertwojtowicz » 5 sie 2010, o 19:03

frej, dlaczego akurat na na [0,1)? Możesz troszeczkę rozwinąć swoją myśl?

ordyh
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 255
Rejestracja: 6 paź 2009, o 18:04
Płeć: Mężczyzna
Pomógł: 66 razy

równanie funkcyjne

Post autor: ordyh » 5 sie 2010, o 23:51

Jeśli znamy f(x), to możemy obliczyć f(x+1), potem z f(x+1) możemy obliczyć f(x+2), ..., f(x+k) dla dowolnego k całkowitego. Każdą liczbę rzeczywistą możemy zapisać jako \(\displaystyle{ x=k+r}\), gdzie \(\displaystyle{ k \in \mathbb{Z}}\), \(\displaystyle{ r in [0;1)}\), czyli \(\displaystyle{ f(x) = f(k+r)}\), a do obliczenia tego potrzebujemy wartość \(\displaystyle{ f(r)}\), nie wiem jak ładnie w słowa ubrać, ale mam nadzieję że zrozumiałeś ;p

ODPOWIEDZ