Matematyka.pl

\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{p} {n \choose k} {n-k \choose p-k}a^{k}b^{p-k}= {n \choose p}(a+b)^{p}}\) dla \(\displaystyle{ n \ge p \ge 0}\)

Tak sobię myślałem, aby rozpisać sumę ( lewa strona, chodź i to mi uporczywie poszło ):

\(\displaystyle{ L=[ {n \choose 0} {n \choose p}\cdot 1 \cdot b^{p}]+[ {n \choose 1} {n-1 \choose p-1} \cdot a^{1} \cdot b^{p-1}]+[ {n \choose 2} {n-2 \choose p-2} \cdot a^{2}\cdot b^{p-2}]+.....+[ {n \choose n-1} {n-(n-1) \choose p-(n-1)} \cdot a^{n-1}\cdot b^{p-(n-1)}] + [ {n \choose n} {n-n \choose p-n}\cdot a^{n}\cdot b^{p-n}]}\)

Podejrzewam iż nieźle schrzaniłem dwa ostatnie nawiasy, jak nie cały zapis. Nadmienię tylko iż \(\displaystyle{ a^{k}b^{p-k}=(b+a)^{p}}\)

Ale jak tak się przyglądam, to, nie jest trudne, coś tam może się regularnie skracać?..... Czegoś mi w mózgu brakuje tylko...



Proszę o małą wskazówkę....

Mocna wskazówka:
\(\displaystyle{ {n \choose k} \cdot {n-k \choose p-k} = {n \choose p} \cdot {p \choose k}}\)
Po podstawieniu po lewej stronie równania i wyciągnięciu przed sumę \(\displaystyle{ {n \choose p}}\) zadanie jest rozwiązanie.

Dowód:
\(\displaystyle{ {n \choose k} \cdot {n-k \choose p-k}= \frac{n!}{k!(n-p)!(p-k)!} = \frac{n!p!}{k!(n-p)!(p-k)!p!} = {n \choose p} \cdot {p \choose k}}\)

Możesz mi lepiej rozpisać swój dowód? Ostatnie dwa zapisy rozumiem. Nie rozumiem tego pierwszego.

Proszę bardzo. Na początek po prostu rozpisujemy symbol Newtona i skracamy co się da.
\(\displaystyle{ {n \choose k} \cdot {n-k \choose p-k}= \frac{n!}{k!(n-k)!} \cdot \frac{(n-k)!}{(n-p)!(p-k)!} =\frac{n!}{k!(n-p)!(p-k)!}}\)

Teraz, mnożymy licznik i mianownik razy \(\displaystyle{ p!}\).

\(\displaystyle{ \frac{n!}{k!(n-p)!(p-k)!} = \frac{n!p!}{k!(n-p)!(p-k)!p!}}\).
A teraz zauważamy, że to co otrzymaliśmy to przemnożone przez siebie dwa symbole Newtona, co widzimy kiedy ładnie ułożymy składniki.

\(\displaystyle{ \frac{n!p!}{k!(n-p)!(p-k)!p!} = \frac{n!}{p!(n-p)!} \cdot \frac{p!}{k!(p-k)!}= {n \choose p} \cdot {p \choose k}}\)

Mam nadzieje, że już jest wszystko jasne.

Teraz już i owszem dziękuję Ci bardzo!

-- 3 sierpnia 2010, 19:15 --

Możesz mi jeszcze powiedzieć dlaczego przez p!?


Edit..

Już wiem-- 4 sierpnia 2010, 03:53 --\(\displaystyle{ {n \choose p} \sum_{k=0}^{p} {n \choose k} a^{k}p^{p-k}= {n \choose p}(a+b)^{p}}\)

Dobrze? Jakby wprowadził jeszcze małe przekształcenia?

damianplflow pisze: \(\displaystyle{ {n \choose p} \sum_{k=0}^{p} {n \choose k} a^{k}p^{p-k}= {n \choose p}(a+b)^{p}}\)
Dobrze? Jakby wprowadził jeszcze małe przekształcenia?

Dwie literówki w zapisie - po znaczku sumy ma być \(\displaystyle{ {p \choose k}}\), a dalej \(\displaystyle{ b^{p-k}}\). Reszta jest ok. Jakie przekształcenia masz na myśli?

Tak, b zamiast p, ale już pisałem z pamki

Doszedlem do tego:
\(\displaystyle{ {n \choose p} \sum_{k=0}^{p} {p \choose k} a^{k}b^{p-k}= {n \choose p}(a+b)^{p}}\)

I po prawej stronie mam dalej:
\(\displaystyle{ {n \choose p} \sum_{k=0}^{p} {p \choose k} a^{p-k} b^{k}}\)

I mam pytanie co do wykladników potęg przy \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\), czy to jest roznica czy daje sie najpierw \(\displaystyle{ p-k}\) czy \(\displaystyle{ k}\)? - Ja zawsze bylem uczony tak jak napisalem.

Nie ma żadnej różnicy, ponieważ:
\(\displaystyle{ {p \choose k} = {p \choose p-k}}\)
Czyli
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{p} {p \choose k} a^{p-k}b^k = \sum_{k=0}^{p} {p \choose p-k} a^{p-k}b^k}\)
Podstawiając \(\displaystyle{ j = p-k}\) Otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{p} {p \choose p-k} a^{p-k}b^k = \sum_{j=p}^{0} {p \choose j} a^{j}b^{p-j} = \sum_{j=0}^{p} {p \choose j} a^{j}b^{p-j}}\)