Udowodnij, że wyrażenie = 1

Proste problemy dotyczące wzorów skróconego mnożenia, ułamków, proporcji oraz innych przekształceń.
lolks123
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 149
Rejestracja: 10 sty 2009, o 23:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: brak
Pomógł: 5 razy

Udowodnij, że wyrażenie = 1

Post autor: lolks123 » 31 lip 2010, o 14:13

Witam! Mam mały problem, otóż muszę udowodnić, że:

\(\displaystyle{ \sqrt[3]{2 + \sqrt{5}} + \sqrt[3]{2 - \sqrt{5}} = 1}\)

Próbowałem zapisywać pierwiastki w postaci potęgi, dalej próbowałem podnosić do sześcianu, jednak nic sensownego nie otrzymałem :/ Mógłbym prosić o WSKAZÓWKĘ? Chodzi mi tylko o jakiś punkt zaczepienia, dalej sobie poradzę

Pozdrawiam.

Fingon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 222
Rejestracja: 24 sie 2009, o 02:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Pomógł: 32 razy

Udowodnij, że wyrażenie = 1

Post autor: Fingon » 31 lip 2010, o 14:25

Zapisz równanie w postaci \(\displaystyle{ \sqrt[3]{2 + \sqrt{5}} + \sqrt[3]{2 - \sqrt{5}} = x}\).
Podnieś równanie obustronnie do trzeciej potęgi. Uporządkuj całość. Powinieneś dojść do momentu, w którym \(\displaystyle{ 4 - 3\left( \sqrt[3]{2 + \sqrt{5}} + \sqrt[3]{2 - \sqrt{5}} \right) = x^3}\), wyrażenie w nawiasie to wcześniej ustalony x, czyli całość sprowadzamy do równania 3 stopnia \(\displaystyle{ x^3 + 3x - 4 = 0}\) i obliczamy pierwiastki. Jedynym pierwiastkiem jest \(\displaystyle{ x = 1}\), więc \(\displaystyle{ \sqrt[3]{2 + \sqrt{5}} + \sqrt[3]{2 - \sqrt{5}} = 1}\), co należało udowodnić.
Ostatnio zmieniony 1 sie 2010, o 16:44 przez Althorion, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości - dodałem skalowanie nawiasów.

lolks123
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 149
Rejestracja: 10 sty 2009, o 23:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: brak
Pomógł: 5 razy

Udowodnij, że wyrażenie = 1

Post autor: lolks123 » 31 lip 2010, o 14:58

Mam jeszcze jedno pytanie Jeżeli mam:

\(\displaystyle{ x = \sqrt[3]{2 + \sqrt{5}} + \sqrt[3]{2 - \sqrt{5}}}\)

To wyrażenie:

\(\displaystyle{ \sqrt[3]{-2-\sqrt{5}} + \sqrt[3]{-2 + \sqrt{5}} = -x}\) ?

Bo mi właśnie coś takiego wyszło, i nie jestem do końca pewien, czy tak jest poprawnie, niby jakbym tak zrobił, to wynik byłby poprawny, jednak wolę się upewnić

Pozdrawiam.

lukasz1804
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 4438
Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 1313 razy

Udowodnij, że wyrażenie = 1

Post autor: lukasz1804 » 31 lip 2010, o 15:08

Dokładnie tak, lolks123.

lolks123
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 149
Rejestracja: 10 sty 2009, o 23:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: brak
Pomógł: 5 razy

Udowodnij, że wyrażenie = 1

Post autor: lolks123 » 31 lip 2010, o 15:09

Ok, dzięki za pomoc

Fingon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 222
Rejestracja: 24 sie 2009, o 02:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Pomógł: 32 razy

Udowodnij, że wyrażenie = 1

Post autor: Fingon » 31 lip 2010, o 15:10

Tak jest to poprawne, ponieważ \(\displaystyle{ \sqrt[3]{x \cdot y} = \sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{y}}\), czyli \(\displaystyle{ \sqrt[3]{-2-\sqrt{5}} = \sqrt[3]{-1} \cdot \sqrt[3]{2+\sqrt{5}}}\), analogicznie
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{-2 + \sqrt{5}} = \sqrt[3]{-1} \cdot \sqrt[3]{2 - \sqrt{5}}}\)
Po dodaniu obu równań stronami widać, że \(\displaystyle{ \sqrt[3]{-2-\sqrt{5}} + \sqrt[3]{-2 + \sqrt{5}} = -1 \cdot \left(\sqrt[3]{2 + \sqrt{5}} + \sqrt[3]{2 - \sqrt{5}}\right) = -x}\)

Mam nadzieje, że już wszystko jest jasne.
Ostatnio zmieniony 1 sie 2010, o 16:43 przez Althorion, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości - dodałem skalowanie nawiasów.

frej

Udowodnij, że wyrażenie = 1

Post autor: frej » 31 lip 2010, o 17:22

\(\displaystyle{ 2+\sqrt{5}=\left( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^3}\)

ODPOWIEDZ