Matematyka.pl

Zapewne glupie pytanie: Czy jezeli zmienne \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) są niezależne to czy \(\displaystyle{ X^2}\) jest niezależna względem \(\displaystyle{ Y}\) ?

Dwie zmienne losowe są niezależne, jeśli \(\displaystyle{ F_X (x) F_Y (y)=F_{X,Y}(x,y).}\)
\(\displaystyle{ F_{X^2}(z)=P(X^2<z)=P(-\sqrt{z}\leq X \leq \sqrt{z})=F_X(\sqrt{z})-F_X(-\sqrt{z})+P(X=-\sqrt{z}).}\) Dalej: \(\displaystyle{ \newline}\)
\(\displaystyle{ F_{X^2}(z) F_Y(y)=F_X(\sqrt{z}) F_Y(y)-F_X(-\sqrt{z})F_Y(y)+P(X=-\sqrt{z},Y\leq y)=P(-\sqrt{z}\leq X \leq \sqrt{z},Y\leq y)=P(X^2\leq z,Y\leq y)= F_{X^2,Y}(z,y). \newline}\)
Nie chciało mi się do końca tego zamieniać, więc skróciłem. Z drugiej strony wydaje mi się, że mój trud był zbędny, ponieważ to jest oczywiste.