Grupa- trzy własnosci

[mol_ksiazkowy]

a)Dowieść, że zbiór macierzy postaci \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} a&b\\0&1\end{bmatrix}}\), gdzie \(\displaystyle{ a \neq 0, \ b \in R}\)- stanowi z działaniem mnożenia -grupę \(\displaystyle{ G}\) (jest to zarazem podgrupa \(\displaystyle{ Gl(2,R)}\) ) i że podzbiór tej grupy składający się z macierzy gdzie \(\displaystyle{ a=1}\) jest jej podgrupą normalna, ale podzbiór składający się z macierzy gdzie \(\displaystyle{ b=0}\) też jest jej podgrupą ,lecz nie normalną.
b) Czy \(\displaystyle{ G}\) jest rozwiazalna ? Wyznaczyć \(\displaystyle{ G^{\prime}}\) oraz sprawdzic, iż w \(\displaystyle{ G}\) każdy element komutanta jest komutatorem (co na ogól w grupie nie jest prawda)
c) podac inne (wg własnego uznania)- ciekawe własnosci \(\displaystyle{ G}\)

[miodzio1988]

No to z a) nie powinno być problemów , nie?

3 warunki masz do sprawdzenia. Wiesz jakie ?



pewnie jak dajesz zadanie to nie.....Z jakim warunkiem jest problem?

[cichon]

a) Trzeba tylko policzyć
b) Rozważmy podgrupę H grupy G składającą się z tych macierzy dla których a=0. Wiemy już z punktu (a) że jest to dzielnik normalny grupy G. Liczymy warstwy G/H i łatwo dochodzimy do tego, że każda warstwa jest postaci \(\displaystyle{ H_x = \{\begin{bmatrix} x&b\\0&1\end{bmatrix}:b \in R\}}\) dla pewnego \(\displaystyle{ x\neq 0}\). Następnie sprawdzamy, że \(\displaystyle{ H_x \cdot H_y = H_{xy}}\). Zatem \(\displaystyle{ G/H \approx (R\setminus\{0\},\cdot)}\). Jest więc to grupa rozwiązalna.
Reszta punktu (b) jest czysto rachunkowa.
c) To jest grupa odwracalnych transformacji afinicznych prostej R.