Matematyka.pl

Urna zawiera \(\displaystyle{ b}\) kul białych i \(\displaystyle{ c}\) kul czarnych. Wykonujemy kolejno następujące doświadczenie: losujemy z urny kulę, a następnie wkładamy ją z powrotem do urny, a wraz z nią dokładamy do urny kulę tego samego koloru. Udowodnij, że prawdopodobieństwo wylosowania w \(\displaystyle{ n}\)-tym losowaniu kuli białej jest\(\displaystyle{ \frac{b}{b+c}}\)

najlepiej to zrobic z drzewka, policzyc dla n=1, n=2, n=3, n=4 i zauwazyc pewna prawidlowosc-- 25 lipca 2010, 09:08 --i potem jakos przez indukcje pokazac

Znaczy ja próbowałem to zadanie zrobić i robiłem tymi właśnie metodami, ale niestety mi nie wyszło.

z drzewka : dla n=1 jest oczywiste, dla n=2 wychodzi ...

no dla n=3 i 4 tez wyjdzie, ale chodzi o to, żeby to w jakiś sposób uogólnić, indukcja, tutaj nie daje rady.

Jeżeli w poprzednim rzucie szansa na wylosowanie białej była równa \(\displaystyle{ \frac{b}{b+c}}\), to szansa na wylosowanie czarnej jest równa \(\displaystyle{ \frac{c}{b+c}}\). Jeżeli wylosowaliśmy w poprzednim losowaniu białą, to szansa na kolejne wylosowanie białej jest równa: \(\displaystyle{ \frac{b}{b+c} \cdot \frac{b+1}{b+c+1}}\). Jeżeli poprzednio wylosowaliśmy czarną, to mamy: \(\displaystyle{ \frac{c}{b+c} \cdot \frac{b}{b+c+1}}\). Liczymy szansę na wylosowanie białej:
\(\displaystyle{ \frac{b}{b+c} \cdot \frac{b+1}{b+c+1} + \frac{c}{b+c} \cdot \frac{b}{b+c+1} = \frac{b(b+c+1)}{(b+c)(b+c+1)} = \frac{b}{b+c}}\)
Teraz wystarczy to ładnie zapisać jako indukcja i gotowe.

PS Mam nadzieję, że nie oszukałem nigdzie

Ok już wszystko jasne, pokminiłem z przekonaniem, że indukcją musi wyjść i wyszło. Wielkie dzięki.

bo w indukcji trzeba pamietac o tych "ŚCIEŻKACH" co z zalozeniu konczyly sie CZARNĄ kula, wiec to nie bedzie tak "łatwo"