Oblicz ekstremum i monotoniczność funkcji

Różniczkowalność, pochodna funkcji. Przebieg zmienności. Zadania optymalizacyjne. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku różniczkowego.
FilipSz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 23 lip 2010, o 19:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław

Oblicz ekstremum i monotoniczność funkcji

Post autor: FilipSz » 23 lip 2010, o 20:04

Witam,
mam takie zadanie:
\(\displaystyle{ f(x)=x ^{2} \cdot lnx}\)

Potrafię je rozwiązać do tego momentu:
\(\displaystyle{ f(x)=x ^{2} \cdot lnx=(x ^{2}) ^{!} \cdot lnx + x ^{2} \cdot (lnx) ^{!} = 2x \cdot lnx + x^{2} \cdot \frac{1}{x} = 2x \cdot lnx + x}\)

Jak możecie odpowiedzcie czy jest to dobrze i jak z tego obliczyć ekstremum i monotoniczność?

Co do monotoniczności to chyba będzie:

\(\displaystyle{ f(x)>0}\) dla \(\displaystyle{ x \in R}\) Czyli ciąg rosnący.

Proszę o odpowiedź jak to dokończyć i czy to co zrobiłem jest dobrze.

Z góry dziękuję.

Miroka
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 17
Rejestracja: 4 lip 2010, o 20:33
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Reda
Pomógł: 1 raz

Oblicz ekstremum i monotoniczność funkcji

Post autor: Miroka » 23 lip 2010, o 20:51

Rozumiem, że pierwsza linijka obliczeń to pochodna - jeśli tak, to jest ona policzona dobrze.
Jednak zanim zaczniesz badać monotoniczność i ekstrema, wyznacz dziedzinę funkcji.
Potem obliczoną pochodną przyrównaj do zera - ekstremum ma prawo pojawić się jedynie w punktach zerowania się pochodnej. Tam, gdzie pochodna jest dodatnia, funkcja jest rosnąca, zaś tam, gdzie pochodna jest ujemna, funkcja jest malejąca.
Napisz, co Ci wyszło.

miodzio1988

Oblicz ekstremum i monotoniczność funkcji

Post autor: miodzio1988 » 23 lip 2010, o 21:08

\(\displaystyle{ f(x)>0}\) dla \(\displaystyle{ x \in R}\) Czyli ciąg rosnący.
O czymś takim jak dziedzina słyszeliśmy?

FilipSz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 23 lip 2010, o 19:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław

Oblicz ekstremum i monotoniczność funkcji

Post autor: FilipSz » 23 lip 2010, o 21:21

słyszałem ale nie bardzo wiem jak się zabrać do obliczenia dziedziny tej funkcji
możecie powiedzieć co zrobić z tym lnx ?

-- 23 lip 2010, o 21:37 --

Dziedzina:
\(\displaystyle{ 2x \cdot lnx +x = 0 \\
lnx^{2x} + x = 0 \\}\)


jeśli dobrze to co dalej?

Miroka
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 17
Rejestracja: 4 lip 2010, o 20:33
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Reda
Pomógł: 1 raz

Oblicz ekstremum i monotoniczność funkcji

Post autor: Miroka » 23 lip 2010, o 22:01

To nie było dobrze. Jaki warunek musi spełniać liczba \(\displaystyle{ x}\), żeby wyrażenie \(\displaystyle{ x^{2} \cdot lnx}\) miało sens? Jeśli odpowiesz na to pytanie, to będziesz mieć dziedzinę.

Awatar użytkownika
mariuszm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6755
Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
Pomógł: 1224 razy

Oblicz ekstremum i monotoniczność funkcji

Post autor: mariuszm » 24 lip 2010, o 18:37

Aby wyznaczyć dziedzinę zastanów się czy wartość funkcji może przybierać wartości
zespolone

Jeśli tak to dziedziną jest

\(\displaystyle{ \mathbb{D}=\mathbb{C} \backslash \{0\}}\)

Jeśli nie to dziedziną jest

\(\displaystyle{ \mathbb{D}= \left(0; \infty \right)}\)


\(\displaystyle{ f' \left(x \right)>0}\) funkcja rosnąca

\(\displaystyle{ f' \left(x \right)<0}\) funkcja malejąca

\(\displaystyle{ f' \left( x\right)=0}\)

oraz pochodna zmienia znak w sąsiedztwie tego punktu extremum istnieje

Jest też wersja z pochodnymi wyższych rzędów

Pochodne można obliczyć za pomocą wzoru rekurencyjnego

\(\displaystyle{ \begin{cases} f^{ \left(0 \right) } \left(x \right) =f \left(x \right) \\ f^{ \left( n+1\right) }= x \rightarrow \lim_{x \to x_{0}} \frac{f^{ \left( n\right) } \left( x\right) -f^{ \left( n\right) } \left( x_{0}\right)}{x-x_{0}} \end{cases}}\)

miodzio1988

Oblicz ekstremum i monotoniczność funkcji

Post autor: miodzio1988 » 24 lip 2010, o 18:44

Jeśli tak to dziedziną jest

\(\displaystyle{ \mathbb{D}=\mathbb{C} \backslash \{0\}}\)
A jak wtedy badamy monotoniczność? Też badamy znak pochodnej?
Ukryta treść:    

Awatar użytkownika
mariuszm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6755
Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
Pomógł: 1224 razy

Oblicz ekstremum i monotoniczność funkcji

Post autor: mariuszm » 24 lip 2010, o 20:35

Zobaczysz zaraz jaką bzdurę napisałeś.
Ja bzdury nie napisałem
to z pochodnymi to dotyczy dziedziny

\(\displaystyle{ \mathbb{R}_{+} \backslash \{0\}}\)

ponieważ w zespolonych nie ma relacji liniowego porządku

Swoją drogą to ciekawe jak obliczyć monotoniczność i extremum
przy założeniu że

\(\displaystyle{ \mathbb{D}=\mathbb{C} \backslash \{0\}}\)

i czy jest to możliwe

miodzio1988

Oblicz ekstremum i monotoniczność funkcji

Post autor: miodzio1988 » 24 lip 2010, o 21:57

Ja bzdury nie napisałem
to z pochodnymi to dotyczy dziedziny

\(\displaystyle{ \mathbb{R}_{+} \backslash \{0\}}\)

ponieważ w zespolonych nie ma relacji liniowego porządku
Wiem. Więc skoro mamy temat:
Oblicz ekstremum i monotoniczność funkcji
To po co gadać o dziedzinie zespolonej. Myślimy, bo możemy kogoś wprowadzić w błąd.

ODPOWIEDZ