Matematyka.pl

Iloczyn liczby wymiernej i niewymiernej jest liczbą wymierną czy niewymierną? Jak to sprawdzić?

Niech \(\displaystyle{ a\notin\mathbb{Q}}\) oraz \(\displaystyle{ b\in\mathbb{Q}}\). Wtedy dla \(\displaystyle{ b=0}\) iloczyn \(\displaystyle{ a\cdot b}\) jest liczbą wymierną - każdy chyba widzi, że \(\displaystyle{ 0\in\mathbb{Q}}\). Natomiast dla \(\displaystyle{ b\neq 0}\) iloczyn \(\displaystyle{ a\cdot b}\) jest niewymierny. Gdyby bowiem był liczbą wymierną \(\displaystyle{ c}\), to wobec \(\displaystyle{ b\neq 0}\) zachodziłoby \(\displaystyle{ a=\frac cb\in\mathbb{Q}}\).

Czy \(\displaystyle{ a\notin\mathbb{Q}}\) oznacza że a należy do zbioru liczb niewymiernych?

Tak, \(\displaystyle{ a\notin\mathbb{Q}}\) oznacza, że \(\displaystyle{ a}\) jest liczbą niewymierną.