Wzor na objetosc kul pocietych w pasy

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
Awatar użytkownika
trelek2
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 114
Rejestracja: 23 wrz 2008, o 13:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 23 razy
Pomógł: 1 raz

Wzor na objetosc kul pocietych w pasy

Post autor: trelek2 » 23 lip 2010, o 14:35

Z gory przepraszam za brak polskich znakow, jestem za granica.

Pisze program w ktorym mam kule roznych rozmiarow zawieszone w przestrzeni (x,y,z). Prestrzen ta jest podzielona na pasy poprzez plaszczyzny xy rownomiernie przecinajace os z.

Plaszczyzny te przecinaja wiec wieksze kule na kawalki. Chodzi o to ze musze policzyc objetosc kul wewnatrz danego pasa. Czyli musze miec mozliwosc policzenia obietosci poszczegolnych kawalkow.

Jestem pewien ze mozna to zrobic za pomoca jakiejs calki. Do dypozycji mam wspolrzedne srodka kuli (x,y,z), jej promien oraz wsporzedne 'z' na jakich znajduja sie pasy.

Prosze o pomoc kogos z dobra wyobraznia przestrzenna:)

Afish
Moderator
Moderator
Posty: 2828
Rejestracja: 15 cze 2008, o 15:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Seattle, WA
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 356 razy

Wzor na objetosc kul pocietych w pasy

Post autor: Afish » 25 lip 2010, o 23:13

Uprzedzam, że całek nie znam (jestem dopiero po liceum), więc mogę się totalnie źle za to brać :) Skoro masz współrzędne tych pasów, to może najpierw policz objętość większego wycinka kuli, potem odejmij od tego objętość mniejszego odcinka kuli i stożka wchodzącego w skład większego wycinka kuli. Wypadałoby jeszcze oddzielnie zastanowić się nad sytuacją, gdy dany pas zawiera środek kuli (wtedy jedna płaszczyzna jest "pod" środkiem, a druga "nad").

Awatar użytkownika
Inkwizytor
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4105
Rejestracja: 16 maja 2009, o 15:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 427 razy

Wzor na objetosc kul pocietych w pasy

Post autor: Inkwizytor » 26 lip 2010, o 11:52

1. Zakładam że znasz metodę liczenia brył obrotowych poprzez całkowanie.

2. Oznaczenia:
S - środek kuli \(\displaystyle{ (x_s, y_s, z_s)}\) i promień R

3. Skoro tniemy płaszczyznami równoległymi do płaszczyzny XY to współrzedne x i y środka kuli nie mają znaczenia bo jakie by nie były (przy takim samym \(\displaystyle{ z_s}\)) to kule będa pocięte tak samo. Czyli możemy zawsze to sprowadzić do kuli \(\displaystyle{ S=(0,0,z_s)}\)

4. Niech \(\displaystyle{ z_i}\) - oznacza płaszczyznę tnącą znajdującą się na wysokości \(\displaystyle{ z_i}\) (osi Z)

5. Oczywiste jest że interesują nas tylko takie płaszczyzny tnące które \(\displaystyle{ \forall i \in N \ \ \ z_i \in <z_s - R ; z_s+R>}\)

6. Możemy zatem wykonać przekrój kuli o \(\displaystyle{ S=(0,0,z_s)}\) i promieniu R. Wraz z płaszczyznami tnącymi. Czyli masz dwie osie (np. OY i OZ -> ta druga koniecznie) Obrócić ten przekrój o 90 stopni w prawo (żebyś lepiej to widział) Oś OZ jest tym czym zwykle os OX przy liczeniu objętości brył obrotowych (kwestia innej literki) a punkty: \(\displaystyle{ z_s-R ; z_1 ; z_2 ; ... ; z_k ; z_s +R}\) są przedziałami całkowania A funkcja którą obracamy wokół osi wzięta z równania okręgu

Jedyna kwestia jest to czy umiesz całkować? Zresztą funkcja jedna i ta sama choć może być przesunięta względem OZ (bo przekrojem kuli jest zawsze koło) dlatego mozna raz wyliczyć całke z parametrem \(\displaystyle{ z_s}\)

pozdrawiam

ODPOWIEDZ