Matematyka.pl

Mam obliczyć:
\(\displaystyle{ \nabla(\vec{\omega}\times \vec{r})^{2}}\)
No i muszę robić jakiś głupi błąd, bo mi wychodzi:
\(\displaystyle{ \nabla(\vec{\omega}\times \vec{r})^{2} = 2(\vec{\omega}\times \vec{r})\nabla(\vec{\omega}\times \vec{r}) = 2(\vec{\omega}\times \vec{r})(-\vec{\omega}(\vec{\nabla}\times \vec{r})) = 0}\)
Jednak w rzeczywistości:
\(\displaystyle{ \nabla(\vec{\omega}\times \vec{r})^{2} = -2\vec{\omega}\times (\vec{\omega}\times \vec{r})}\)
Już za dużo razy przewalałam to równanie w tą i wewtą i już nie jestem w stanie sama dojść jakie głupie założenie robię.
Mam nadzieję, że znajdzie się ktoś kto wytknie mi mój błąd .

Zastanów się, czy na pewno \(\displaystyle{ \nabla(\vec{\omega}\times \vec{r})^{2} = 2(\vec{\omega}\times \vec{r})\nabla(\vec{\omega}\times \vec{r})}\).

\(\displaystyle{ \nabla}\) to wektorowy operator różniczkowy, niekiedy skutki jego stosowania mogą zaskakiwać. Oczywiście otrzymałem poprawne rozwiązanie, ale to Ty musisz do niego dojść .

No dobra, już trochę skumałam co źle robię.
Znowu zapomniałam, że jak mamy np:
\(\displaystyle{ \nabla\vec_{a} \vec_{r}}\)
to nie można sobie po prostu "wejść" Nablą do iloczynu skalarnego (a już parę razy zastanawiałam się dlaczego nie jest to równe trzykrotności wektora...).
Wracając do mojego przykładu, na razie doszłam do tego:
\(\displaystyle{ \nabla(\vec{\omega}\times \vec{r})^{2} = \nabla {\overbrace{(\vec{\omega}\times \vec{r})\circ(\vec{\omega}\times \vec{r})}}^{\downarrow} = 2\nabla{\overbrace{(\vec{\omega}\times \vec{r})}^{\downarrow}}\circ(\vec{\omega}\times \vec{r})} = 2{\nabla\otimes\overbrace{(\vec{\omega}\times \vec{r})}^{\downarrow}}(\vec{\omega}\times \vec{r})}\)
Oznaczyłam tutaj na co działa Nabla. Kółeczko to iloczyn skalarny, kółeczko z krzyżykiem tensorowy.
No i właśnie teraz nie wiem jak iloczyn tensorowy reaguje z iloczynem wektorowym, mogłabym to rozpisać "na chama" i zobaczyć co wyjdzie, ale wolałabym zobaczyć jakieś ogólne reguły liczenia z iloczynem tensorowym, niestety nie mogę tego nigdzie znaleźć.
Na razie robię dobrze?

Nie mnóżmy bytów ponad potrzebę, doprawdy . Iloczyn tensorowy jest tutaj zbędny. Rozpisz lewą stronę wyrażenia, obliczając pomocniczo \(\displaystyle{ \nabla \vec{a}^{2}}\). Potem połóż \(\displaystyle{ a_i \equiv \epsilon_{ijk}\omega_j x_k}\).

Amon-Ra pisze:Rozpisz lewą stronę wyrażenia, obliczając pomocniczo \(\displaystyle{ \nabla \vec{a}^{2}}\). Potem połóż \(\displaystyle{ a_i \equiv \epsilon_{ijk}\omega_j x_k}\).

Nie rozumiem o co Ci chodzi....

Twoim wektorem \(\displaystyle{ \vec{a}}\) jest iloczyn wektorowy \(\displaystyle{ \vec{\omega}\times\vec{r}}\). Proponuję, abyś najpierw, szczędząc sobie czasu i pracy, obliczyła, jakim wzorem wyrazi się gradient kwadratu tego wektora \(\displaystyle{ \vec{a}}\), aby potem można było już łatwo liczyć przypadek szczególny.

Podpowiedź: \(\displaystyle{ \nabla \vec{a}\, ^{2} = \sum_i \sum_j \hat{e}_i \frac{\partial}{\partial x_i} \left(a_{j}^{2}\right)}\).

W końcowym etapie obliczeń skorzystaj z tego, że iloczyn wektorowy przedstawia się z użyciem symbolu antysymetrycznego \(\displaystyle{ (\vec{a}\times \vec{b})_i = \epsilon_{ijk} a_j b_k}\).

A więc nadszedł ten dzień kiedy w końcu muszę się nauczyć tej notacji z deltą Kroneckera i innymi dziwnymi tworami...

Amon-Ra pisze:Twoim wektorem \(\displaystyle{ \vec{a}}\) jest iloczyn wektorowy \(\displaystyle{ \vec{\omega}\times\vec{r}}\). Proponuję, abyś najpierw, szczędząc sobie czasu i pracy, obliczyła, jakim wzorem wyrazi się gradient kwadratu tego wektora \(\displaystyle{ \vec{a}}\), aby potem można było już łatwo liczyć przypadek szczególny.

Podpowiedź: \(\displaystyle{ \nabla \vec{a}\, ^{2} = \sum_i \sum_j \hat{e}_i \frac{\partial}{\partial x_i} \left(a_{j}^{2}\right)}\).

Ok, faktycznie zgadza się.

Amon-Ra pisze:W końcowym etapie obliczeń skorzystaj z tego, że iloczyn wektorowy przedstawia się z użyciem symbolu antysymetrycznego \(\displaystyle{ (\vec{a}\times \vec{b})_i = \epsilon_{ijk} a_j b_k}\).

A więc:
\(\displaystyle{ \vec{\omega}\times\vec{r}^{2} = \epsilon_{ijk}\omega_{j}x_{k}\epsilon_{itm}\omega_{t}x_{m} = (\delta_{kt}\delta_{jm}-\delta_{km}\delta_{jt})\omega_{j}x_{k}\omega_{t}x_{m}}\)
Tylko, że wcześniej jak było jeszcze to dziwne e ( ), to sumowało się po i , a teraz jak to i zniknęło to... ?

Pozwolisz, że będę pisał z użyciem konwencji sumacyjnej i zastosuję symbol różniczkowania \(\displaystyle{ \partial_i}\) zamiast \(\displaystyle{ \frac{\partial}{\partial x_i}}\).

waruna pisze:A więc nadszedł ten dzień kiedy w końcu muszę się nauczyć tej notacji z deltą Kroneckera i innymi dziwnymi tworami...

Im prędzej, tym lepiej .

waruna pisze:Tylko, że wcześniej jak było jeszcze to dziwne e

Czyżby chodziło o wersor osi?

Poradziłem Ci najpierw przeliczyć sobie gradient z kwadratu dowolnego wektora:

\(\displaystyle{ \nabla \vec{a}\,^{2} = \hat{e}_i \partial_i \left(a_j a_j ) = \hat{e}_i \left(\partial_i a_j \right)a_j + \hat{e}_i a_j \left(\partial_i a_j \right) = 2\hat{e}_i a_j \left(\partial _i a_j\right)=...}\)

Ponieważ \(\displaystyle{ \nabla = \hat{e}_i \partial_i}\), to

\(\displaystyle{ ...=2a_j \nabla a_j}\).

Twoim wektorem jest teraz iloczyn wektorowy \(\displaystyle{ \vec{\omega}\times \vec{r}}\). Czyli jego j-ta składowa to \(\displaystyle{ a_j = \epsilon_{jkl}\omega_k x_l}\):

\(\displaystyle{ \nabla \left(\vec{\omega}\times \vec{r}\right)^{2} = 2 \left(\vec{\omega}\times \vec{r}\right)_j \hat{e}_i \partial_i \left(\epsilon_{jkl}\omega_k x_l \right)=...}\)

Dokończ teraz obliczenia, ale nie rozpisuj już pierwszego czynnika na składowe, nie ma potrzeby, zajmij się tylko różniczkowaniem. W pewnym momencie przyda się własność symbolu antysymetrycznego \(\displaystyle{ \epsilon_{ijk}=-\epsilon_{kji}}\).

\(\displaystyle{ \nabla \left(\vec{\omega}\times \vec{r}\right)^{2} = 2 \left(\vec{\omega}\times \vec{r}\right)_j \hat{e}_i \partial_i \left(\epsilon_{jkl}\omega_k x_l \right)=2 \left(\vec{\omega}\times \vec{r}\right)_j \hat{e}_i \epsilon_{jkl}\omega_k \partial_ix_l =2 \left(\vec{\omega}\times \vec{r}\right)_j \hat{e}_i\left\epsilon_{jki}\omega_k=-2\hat{e}_i \epsilon_{ikj}\omega_k(\vec{\omega}\times \vec{r}\right)_j =-2\vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times \vec{r}\right))}\)
Boski ten zapis...
Taka drobnostka ze skryptu a ile się człowiek nauczył.
Wielkie dzięki .