Nierówność - dowód

Różniczkowalność, pochodna funkcji. Przebieg zmienności. Zadania optymalizacyjne. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku różniczkowego.
mm_6
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1
Rejestracja: 22 lip 2010, o 13:45
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa

Nierówność - dowód

Post autor: mm_6 » 22 lip 2010, o 13:57

Proszę o wykazanie nierówności:
\(\displaystyle{ x^\alpha - \alpha x \le 1 - \alpha}\), gdzie \(\displaystyle{ x \ge 0}\) i \(\displaystyle{ \alpha\in (0,1)}\)
Ostatnio zmieniony 22 lip 2010, o 14:12 przez M Ciesielski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Nie podpinaj się pod cudze tematy. Poprawa wiadomości - w znacznikach zamykających występują slashe w drugą stronę niż w LaTeX-u.

magnolia91
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 54
Rejestracja: 8 lip 2008, o 19:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa/Kraków
Pomógł: 6 razy

Nierówność - dowód

Post autor: magnolia91 » 22 lip 2010, o 18:22

Jest to wniosek z nierówności Bernoulliego:
\(\displaystyle{ (1+x) ^{ \alpha } \le 1+ \alpha x}\)
dla \(\displaystyle{ \alpha \in (0,1)}\)
\(\displaystyle{ (1+x) ^{ \alpha } = 1 + x^{ \alpha } + ... + ...}\) tu są różne elementy dodatnie
Naszą nierówność można zapisać :
\(\displaystyle{ x ^{ \alpha } + \alpha \le 1+ \alpha x}\)
Zarówno pierwszy i drugi element lewej strony naszej nierówności są mniejsze lub równe od
zidentyfikowanych składników rozwinięcia powyżej.
Stąd wniosek.

ODPOWIEDZ