Całka z kosinusa

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
Awatar użytkownika
bienieck
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 108
Rejestracja: 7 maja 2010, o 17:14
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 9 razy

Całka z kosinusa

Post autor: bienieck » 21 lip 2010, o 23:57

Proszę o pomoc w przekształceniu całki tak aby dało się coś policzyć.

\(\displaystyle{ \int cos^{2}2x \ dx}\)

Stosuje podstawienie: \(\displaystyle{ \ 2x=t \\ 2 \ dx=dt}\)

Otrzymuje: \(\displaystyle{ \ \frac{1}{2} \int cos^{2}t \ dt}\)

Następnie wykorzystuje wzory:
\(\displaystyle{ cos2x=cos^{2}x-sin^{2}x \\ sin^{2}x=1-cos^{2}x}\)

Przekształcam by otrzymać \(\displaystyle{ \ cos^{2}x \\}\)

\(\displaystyle{ cos2x=2cos^{2}x-1 \\ cos^{2}x= \frac{1}{2}cos2x+ \frac{1}{2}}\)

Dostaję:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \left( \int \left( \frac{1}{2}cos2t+ \frac{1}{2}\right)dt \right)
= \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} \int cos2t \ dt+ \frac{1}{2} \int dt \right)= \\}\)


Tu znowu podstawienie: \(\displaystyle{ \ 2t=u \\ 2 \ dt=du}\)

\(\displaystyle{ = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{4} \int cosu \ du+ \frac{1}{2} \int dt \right)
= \frac{1}{2} \left( \frac{1}{4} sinu+ \frac{1}{2}t \right)
= \frac{1}{2} \left( \frac{1}{4}sin2t+ \frac{1}{2}2x \right)= \frac{1}{8}sin4x+ \frac{1}{2}x+C}\)


Git?
Ostatnio zmieniony 22 lip 2010, o 00:50 przez bienieck, łącznie zmieniany 5 razy.

miodzio1988

Całka z kosinusa

Post autor: miodzio1988 » 22 lip 2010, o 00:11

Potęgi w postaci sumy

http://pl.wikipedia.org/wiki/To%C5%BCsa ... ometryczne

Awatar użytkownika
mariuszm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6755
Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
Pomógł: 1224 razy

Całka z kosinusa

Post autor: mariuszm » 22 lip 2010, o 15:03

Masz dobrze (przynajmniej ja nie widzę błędów)

ODPOWIEDZ