Równania trygonometryczne

Własności funkcji trygonometrycznych i cyklometrycznych. Tożsamości. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
jooni22
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 9 kwie 2008, o 18:00
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: CHiny

Równania trygonometryczne

Post autor: jooni22 » 20 lip 2010, o 15:10

Witam, mógłby ktoś mi pomóc z tymi zadaniami ?
1.Wykaż że dla kąta ostrego \(\displaystyle{ \alpha}\) równość \(\displaystyle{ (1+\sin \alpha)(1-\sin\alpha)=\cos^{2}\alpha}\) jest tożsamością.
2.Wykorzystując związki między funkcjami trygonometrycznymi tego samego kąta, zapisz w prostszej postaci wyrażenie:
a) \(\displaystyle{ \sin\alpha\cdot\ctg\alpha}\)
b) \(\displaystyle{ \frac{1-\sin^{2}\alpha}{\cos^{2}\alpha}}\)
c) \(\displaystyle{ \cos^{2}13^{o}+\cos^{2}77^{o}}\)
d) \(\displaystyle{ \tg 25^{o}\cdot\tg 45^{o}\cdot\tg 65^{o}}\)
3.Oblicz wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych kąta ostrego \(\displaystyle{ \alpha}\), wiedząc że:
a) \(\displaystyle{ \cos\alpha=\frac{3}{4}}\)
b) \(\displaystyle{ \sin\alpha=\frac{\sqrt{2}}{2}}\)
c) \(\displaystyle{ \ctg\alpha=\frac{\sqrt{5}}{2}}\)
d) \(\displaystyle{ \tg\alpha=\frac{1}{2}}\)
e) \(\displaystyle{ \ctg\alpha=3}\)
4.Wykaż, że dla kąta ostrego \(\displaystyle{ \alpha}\) tożsamością jest równość:
a) \(\displaystyle{ (\tg\alpha-1)(\ctg\alpha+1)=\tg\alpha-\ctg\alpha}\)
b) \(\displaystyle{ \tg\alpha\cdot\ctg\alpha+1=2(\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha)}\)
c) \(\displaystyle{ (1+\cos\alpha)(1-\cos\alpha)=\sin^{2}\alpha}\)
d) \(\displaystyle{ 1-2\cos^{2}\alpha=2\sin^{2}\alpha-1}\)
Ostatnio zmieniony 20 lip 2010, o 15:46 przez lukasz1804, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

Awatar użytkownika
Mersenne
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1010
Rejestracja: 27 cze 2005, o 23:52
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Bytom/Katowice
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 303 razy

Równania trygonometryczne

Post autor: Mersenne » 20 lip 2010, o 16:12

1.

\(\displaystyle{ L=(1-\sin\alpha)(1+\sin\alpha)=1-\sin^{2}\alpha=\cos^{2}\alpha=P}\)

Korzystasz ze wzoru skróconego mnożenia i z jedynki trygonometrycznej.

2. Dla przykładu:

a) \(\displaystyle{ \sin \alpha\cdot \ctg\alpha=\sin\alpha \cdot \frac{\cos\alpha}{\sin \alpha}=\cos \alpha}\)

d) \(\displaystyle{ \tg 25^{\circ} \cdot \tg 45^{\circ}\cdot \tg 65^{\circ}=\tg (90^{\circ}-65^{\circ})\cdot 1\cdot \tg 65^{\circ}=\ctg 65^{\circ}\cdot \tg 65^{\circ}=\frac{1}{\tg 65^{\circ}}\cdot \tg 65^{\circ}=1}\)

3. założenie: \(\displaystyle{ \alpha \in (0;90^{\circ})}\)

a) Skorzystaj z tego, że \(\displaystyle{ \sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1}\).

4. Dla przykładu:

b) \(\displaystyle{ \tg \alpha\cdot \ctg\alpha+1=2(\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha)}\)

\(\displaystyle{ L=\tg\alpha\cdot \ctg\alpha+1=\tg\alpha \cdot \frac{1}{\tg\alpha}+1=1+1=2}\)

\(\displaystyle{ P=2(\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha)=2\cdot 1=2}\)

\(\displaystyle{ L=P}\)

ODPOWIEDZ