granica ciągu

Własności ciągów i zbieżność, obliczanie granic. Twierdzenia o zbieżności.
adamus_91
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 41
Rejestracja: 11 lip 2010, o 15:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: ,,,,,,,,
Podziękował: 18 razy
Pomógł: 1 raz

granica ciągu

Post autor: adamus_91 » 23 lip 2010, o 14:30

Potrzebuję pomocy przy obliczeniu granicy w następnych przykładach:

1)
\(\displaystyle{ u_{n} = \frac{- 8^{n-1} }{ 7^{n+1} } =\frac{- 8^{n}* \frac{1}{8} }{ 7^{n}*7 }=\frac{- \frac{8}{7} ^{n}* \frac{1}{8}}{ 7 } \rightarrow - \infty}\)

2)
\(\displaystyle{ u_{n} = \frac{ 2^{n+1}- 3^{n+2} }{ 3^{n+2} } = \frac{ 2^{n}*2- 3^{n}*9 }{3^{n}*9}= \frac{ (\frac{2}{3}) ^{n}*2-9}{9} \rightarrow 0-1 \rightarrow -1}\)

3)
\(\displaystyle{ u_{n} =( \frac{3}{2}) ^{n}* \frac{2 ^{n+1}-1 }{3 ^{n+1}-1 }=}\)

4)
\(\displaystyle{ u _{n} = \sqrt[n]{10 ^{100} } - \sqrt[n]{ \frac{1}{10 ^{100} } } = (10^{100}) ^{ \frac{1}{n} } -(10 ^{100}) ^{- \frac{1}{n} } =10 ^{ \frac{100}{n} } -10 ^{- \frac{100}{n} } \rightarrow 0}\)

W przykładach 1 i 2 wynik jest dobry, nie jestem pewien co do obliczeń.
W 3) będzie 1/2 czy 2/3? Według moich obliczeń 1/2, jeśli się mylę to proszę o wskazówki.
W 4) wynik też jest dobry. Wydaje mi się, że te moje obliczenia są dziwne (patrzyłem tak na "chłopski rozum" )

bakala12
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3044
Rejestracja: 25 mar 2010, o 15:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gołąb
Podziękował: 24 razy
Pomógł: 513 razy

granica ciągu

Post autor: bakala12 » 23 lip 2010, o 20:22

3
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }u _{n} = [ (\frac{3}{2}) ^{n} \cdot \frac{2 ^{n+1} \cdot (1-0)}{3 ^{n+1} \cdot (1-0)}]= [ (\frac{3}{2}) ^{n} \cdot (\frac{2}{3}) ^{n+1}] = \frac{2}{3}}\)

Jeśli źle to proszę o wyrozumiałość, dopiero skończyłem gimnazjum.

adamus_91
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 41
Rejestracja: 11 lip 2010, o 15:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: ,,,,,,,,
Podziękował: 18 razy
Pomógł: 1 raz

granica ciągu

Post autor: adamus_91 » 23 lip 2010, o 22:26

Nie wiem skąd wziąłeś ten nawias (1-0).

Spróbowałem jeszcze raz, i chyba mi wyszło tak jak trzeba:

\(\displaystyle{ u_{n} =( \frac{3}{2}) ^{n} \cdot \frac{2 ^{n+1}-1 }{3 ^{n+1}-1 }= \frac{3 ^{n} \cdot 2 ^{n} \cdot 2-1 }{2 ^{n} \cdot 3 ^{n} \cdot 3-1}=\frac{6 ^{n} \cdot 2-1 } { 6 ^{n} \cdot 3-1 }= \frac{ \frac{6 ^{n} \cdot 2 }{6 ^{n}}- \frac{1}{6 ^{n} } }{ \frac{6 ^{n} \cdot 3 }{6 ^{n} }-\frac{1}{6 ^{n} } } \rightarrow \frac{2}{3}}\)

Przykład 4. już mam. Byłbym wdzięczny, gdyby ktoś powiedział czy obliczenia w 1 i 2 są poprawne.

bakala12
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3044
Rejestracja: 25 mar 2010, o 15:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gołąb
Podziękował: 24 razy
Pomógł: 513 razy

granica ciągu

Post autor: bakala12 » 24 lip 2010, o 09:36

Powinno być
\(\displaystyle{ \frac{2 ^{n+1}-1 }{3 ^{n+1} -1}}\)
Wyłączasz przed nawias w liczniku \(\displaystyle{ 2 ^{n+1}}\), a w mianowniku \(\displaystyle{ 3 ^{n+1}}\)
Masz
\(\displaystyle{ \frac{2 ^{n+1} \cdot (1- \frac{1}{2 ^{n+1} }) }{3 ^{n+1} \cdot (1- \frac{1}{ 3^{n+1} }) }}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2 ^{n+1} }}\) i \(\displaystyle{ \frac{1}{3 ^{n+1} }}\) zbiegają do 0.

ODPOWIEDZ