Granica funkcji z logarytmem naturalnym

Wyznaczanie granic funkcji. Ciągłość w punkcie i ciągłość jednostajna na przedziale. Reguła de l'Hospitala.
rosa_szczecin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 37
Rejestracja: 13 cze 2010, o 22:29
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Szczecin

Granica funkcji z logarytmem naturalnym

Post autor: rosa_szczecin » 16 lip 2010, o 14:01

Proszę o pomoc, bo jakoś nic z tego nie mogę skapować. Może ktoś mi poleci jakąś książke, ćwiczenia żeby się tego nauczyć? Ale najpierw mam takie przykłady.

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to0 } x \cdot ctg3x}\)

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 0} \frac{arctgx}{x}}\)

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to \infty } x[ln(x+1) - lnx] = x \cdot ln \frac{x+1}{x}= ln (\frac{x+1}{x}) ^{x}
= ln(1+ \frac{1}{x}) ^{x} =
ln \cdot \lim_{ x\to \infty } (1+ \frac{1}{x}) ^{x} = lne =1}\)

Ostatnie nie wiem co się z czego wzięło.

miodzio1988

Granica funkcji z logarytmem naturalnym

Post autor: miodzio1988 » 16 lip 2010, o 14:10

90940.htm

trzecie: własności logarytmu , i def liczby \(\displaystyle{ e}\) , i skorzystanie z ciągłości logarymtu

Pierwsze: definicja tej funkcji trygonometrycznej

rosa_szczecin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 37
Rejestracja: 13 cze 2010, o 22:29
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Szczecin

Granica funkcji z logarytmem naturalnym

Post autor: rosa_szczecin » 16 lip 2010, o 18:11

Ooo, dzięki już widze co jest co w 3, ale mógłbyś mi wytłumaczyć te dwa pierwsze?

miodzio1988

Granica funkcji z logarytmem naturalnym

Post autor: miodzio1988 » 16 lip 2010, o 18:12

No napisałem co trzeba zrobić. Przeczytaj to jeszcze raz

Crizz
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 4094
Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 805 razy

Granica funkcji z logarytmem naturalnym

Post autor: Crizz » 16 lip 2010, o 21:16

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 0} x \cdot ctg3x = \lim_{ x\to 0} \frac{x}{tg3x}=\frac{1}{3} \cdot \lim_{ x \to 0}\frac{3x}{tg3x}=\frac{1}{3}\lim_{t \to 0} \frac{t}{tgt}=\frac{1}{3} \cdot 1=\frac{1}{3}}\).

Musisz po prostu zapamiętać, że \(\displaystyle{ \lim_{x \to 0}\frac{sinx}{x}=\lim_{x \to 0}\frac{tgx}{x}=\lim_{x \to 0}\frac{arcsinx}{x}=\lim_{x \to 0}\frac{arctgx}{x}=1}\) (i analogicznie dla odwrotności tych wyrażeń).

rosa_szczecin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 37
Rejestracja: 13 cze 2010, o 22:29
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Szczecin

Granica funkcji z logarytmem naturalnym

Post autor: rosa_szczecin » 17 lip 2010, o 13:34

Wielkie dzięki, życie mi ratujecie!

Jeszcze może pomożecie z czymś takiem i może z jakimś wyjaśnieniem:

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 0 } \frac{ln(a+x) - lna}{x}}\)

miodzio1988

Granica funkcji z logarytmem naturalnym

Post autor: miodzio1988 » 17 lip 2010, o 13:36

Znowu własności logarytmu się kłaniają.

Majeskas
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1455
Rejestracja: 14 gru 2007, o 14:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 49 razy
Pomógł: 198 razy

Granica funkcji z logarytmem naturalnym

Post autor: Majeskas » 17 lip 2010, o 15:45

\(\displaystyle{ log_ab-log_ac=log_a \frac{b}{c}}\)

rosa_szczecin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 37
Rejestracja: 13 cze 2010, o 22:29
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Szczecin

Granica funkcji z logarytmem naturalnym

Post autor: rosa_szczecin » 17 lip 2010, o 16:59

Czyli wyjdzie \(\displaystyle{ \frac{ln \frac{a+x}{x} }{x}}\)

Majeskas
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1455
Rejestracja: 14 gru 2007, o 14:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 49 razy
Pomógł: 198 razy

Granica funkcji z logarytmem naturalnym

Post autor: Majeskas » 17 lip 2010, o 19:00

Tak.

rosa_szczecin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 37
Rejestracja: 13 cze 2010, o 22:29
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Szczecin

Granica funkcji z logarytmem naturalnym

Post autor: rosa_szczecin » 17 lip 2010, o 19:20

teraz mam skorzystać chyba z tego:
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 0 } \frac{ln(1+x)}{x}=1}\)

ale nie wiem jak zmusić to do występowania w takiej postaci.

Awatar użytkownika
czeslaw
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2156
Rejestracja: 5 paź 2008, o 22:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Politechnika Wrocławska
Podziękował: 44 razy
Pomógł: 317 razy

Granica funkcji z logarytmem naturalnym

Post autor: czeslaw » 17 lip 2010, o 19:32

Ja bym proponował inaczej.
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 0 } \frac{\ln(a+x) - \ln a}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\ln a(1+\frac{x}{a}) - \ln a}{x} =\lim_{x \to 0} \frac{\ln a + \ln(1 + \frac{x}{a}) - \ln a}{x} = \lim_{x \to 0}\frac{\ln(1+\frac{x}{a})}{a \cdot \frac{x}{a}} = \frac{1}{a}}\)

A nie chciało mi wyjść, bo Majeskas napisał że jest ok, a wcale nie było. Tam powinno być \(\displaystyle{ \frac{\ln \frac{a+x}{\red a \black}}{x}}\), wtedy byłoby dobrze.

Majeskas
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1455
Rejestracja: 14 gru 2007, o 14:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 49 razy
Pomógł: 198 razy

Granica funkcji z logarytmem naturalnym

Post autor: Majeskas » 18 lip 2010, o 01:40

Sorry. Moje niedopatrzenie.

ODPOWIEDZ