Wymiar zbioru macierzy
- fon_nojman
- Użytkownik
- Posty: 1599
- Rejestracja: 13 cze 2009, o 22:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 68 razy
- Pomógł: 255 razy
Wymiar zbioru macierzy
Określmy \(\displaystyle{ X=\{ A \ge 0:tr(A)=1\}}\), \(\displaystyle{ A}\) są macierzami o wymiarach \(\displaystyle{ d\times d}\) o wyrazach zespolonych. Pokazać, że \(\displaystyle{ dim\ X=d^2-1}\).
- max
- Użytkownik
- Posty: 3306
- Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lebendigentanz
- Podziękował: 37 razy
- Pomógł: 778 razy
Wymiar zbioru macierzy
Co oznacza \(\displaystyle{ A\ge 0}\) w przypadku macierzy zespolonej?
Jeśli chodzi o to, że \(\displaystyle{ A}\) ma wyrazy rzeczywiste nieujemne, to umiem pokazać, że \(\displaystyle{ X}\) jest rozmaitością rzeczywistą wymiaru \(\displaystyle{ d^{2} - 1}\), ale nie jestem pewien, czy o to chodzi.
Jeśli chodzi o to, że \(\displaystyle{ A}\) ma wyrazy rzeczywiste nieujemne, to umiem pokazać, że \(\displaystyle{ X}\) jest rozmaitością rzeczywistą wymiaru \(\displaystyle{ d^{2} - 1}\), ale nie jestem pewien, czy o to chodzi.
- miki999
- Użytkownik
- Posty: 8691
- Rejestracja: 28 lis 2007, o 18:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 36 razy
- Pomógł: 1001 razy
Wymiar zbioru macierzy
Zadałem to samo pytanie autorowi w pw i otrzymałem odp.:
Pozdrawiam.
fon_nojman pisze:\(\displaystyle{ A \ge 0}\) oznacza, że iloczyn skalarny \(\displaystyle{ <x,Ax>}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ x\in \mathbb{C}^d}\) jest nieujemny.
Pozdrawiam.
-
- Użytkownik
- Posty: 3921
- Rejestracja: 10 gru 2007, o 20:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 36 razy
- Pomógł: 1194 razy
Wymiar zbioru macierzy
Warto doprecyzować, o jaki wymiar chodzi; prawdopodobnie, tak jak pisze max, chodzi o wymiar tego zbioru jako rozmaitości (podejrzewam, że nad \(\displaystyle{ \mathbb{C}}\)).
Sam zbiór macierzy o śladzie 1 jest hiperpłaszczyzną afiniczną w zbiorze wszystkich macierzy. Obstawiałbym, że te nieujemne macierze stanowią otwarty podzbiór tej hiperpłaszczyzny; jak wymyślę, to dam znać.
Pomyślałem i to, co napisałem powyżej to nieprawda. Po pierwsze, taka nieujemna macierz jest obowiązkowo samosprzężona, a więc diagonalizowalna. Zatem w tym zbiorze mamy macierze samosprzężone o nieujemnych wartościach własnych. Jeśli weźmiemy macierz z tego zbioru, której jedną z wartości własnych jest zero, to w dowolnym otoczeniu znajdziemy macierz o ujemnej wartości własnej. Ponadto, jak podejrzewam, w dowolnym otoczeniu macierzy diagonalizowalnej znajdziemy macierz, która się nie diagonalizuje, a więc nie należy do badanego zbioru.
Sam zbiór macierzy o śladzie 1 jest hiperpłaszczyzną afiniczną w zbiorze wszystkich macierzy. Obstawiałbym, że te nieujemne macierze stanowią otwarty podzbiór tej hiperpłaszczyzny; jak wymyślę, to dam znać.
Pomyślałem i to, co napisałem powyżej to nieprawda. Po pierwsze, taka nieujemna macierz jest obowiązkowo samosprzężona, a więc diagonalizowalna. Zatem w tym zbiorze mamy macierze samosprzężone o nieujemnych wartościach własnych. Jeśli weźmiemy macierz z tego zbioru, której jedną z wartości własnych jest zero, to w dowolnym otoczeniu znajdziemy macierz o ujemnej wartości własnej. Ponadto, jak podejrzewam, w dowolnym otoczeniu macierzy diagonalizowalnej znajdziemy macierz, która się nie diagonalizuje, a więc nie należy do badanego zbioru.
- max
- Użytkownik
- Posty: 3306
- Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lebendigentanz
- Podziękował: 37 razy
- Pomógł: 778 razy
Wymiar zbioru macierzy
Wydaje mi się, że chodzi o wymiar topologiczny.
Ten zbiór z naturalną topologią nie jest rozmaitością zespoloną wymiaru \(\displaystyle{ d^{2} - 1}\), właśnie z tego powodu jaki jest napisany post wyżej.
W przeciwnym razie jako podrozmaitość wymiaru \(\displaystyle{ d^{2}-1}\) rozmaitości wymiaru \(\displaystyle{ d^{2} - 1}\), którą jest wspomniana hiperpłaszczyzna musiałby być jej podzbiorem otwartym, a tak nie jest.
Np \(\displaystyle{ \begin{pmatrix}1 & \cdots & 0\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0\end{pmatrix}\in X,}\) ale \(\displaystyle{ \begin{pmatrix}1 & \varepsilon & 0 & \cdots & 0\\ \vdots &\vdots &\vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0\end{pmatrix}\not\in X}\) dla dowolnie małych \(\displaystyle{ \varepsilon>0}\).
Ten zbiór z naturalną topologią nie jest rozmaitością zespoloną wymiaru \(\displaystyle{ d^{2} - 1}\), właśnie z tego powodu jaki jest napisany post wyżej.
W przeciwnym razie jako podrozmaitość wymiaru \(\displaystyle{ d^{2}-1}\) rozmaitości wymiaru \(\displaystyle{ d^{2} - 1}\), którą jest wspomniana hiperpłaszczyzna musiałby być jej podzbiorem otwartym, a tak nie jest.
Np \(\displaystyle{ \begin{pmatrix}1 & \cdots & 0\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0\end{pmatrix}\in X,}\) ale \(\displaystyle{ \begin{pmatrix}1 & \varepsilon & 0 & \cdots & 0\\ \vdots &\vdots &\vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0\end{pmatrix}\not\in X}\) dla dowolnie małych \(\displaystyle{ \varepsilon>0}\).
- fon_nojman
- Użytkownik
- Posty: 1599
- Rejestracja: 13 cze 2009, o 22:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 68 razy
- Pomógł: 255 razy
Wymiar zbioru macierzy
Nie ujemność \(\displaystyle{ A}\) rozumiana jest tak jak pisał miki999.
\(\displaystyle{ X}\) rozważamy jako podzbiór przestrzeni liniowej macierzy hermitowskich nad ciałem \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\).
Wymiar jako wymiar rozmaitości.
\(\displaystyle{ X}\) rozważamy jako podzbiór przestrzeni liniowej macierzy hermitowskich nad ciałem \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\).
Wymiar jako wymiar rozmaitości.
- max
- Użytkownik
- Posty: 3306
- Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lebendigentanz
- Podziękował: 37 razy
- Pomógł: 778 razy
Wymiar zbioru macierzy
Wydaje mi się, że w tej postaci \(\displaystyle{ X}\) nie jest rozmaitością; będzie nią jeśli zastąpimy \(\displaystyle{ A\ge 0}\) przez \(\displaystyle{ A > 0}\) i wtedy zachodzi teza.
Ukryta treść: