Wymiar zbioru macierzy

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
Awatar użytkownika
fon_nojman
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1599
Rejestracja: 13 cze 2009, o 22:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 68 razy
Pomógł: 255 razy

Wymiar zbioru macierzy

Post autor: fon_nojman » 14 lip 2010, o 18:23

Określmy \(\displaystyle{ X=\{ A \ge 0:tr(A)=1\}}\), \(\displaystyle{ A}\) są macierzami o wymiarach \(\displaystyle{ d\times d}\) o wyrazach zespolonych. Pokazać, że \(\displaystyle{ dim\ X=d^2-1}\).

Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

Wymiar zbioru macierzy

Post autor: max » 15 lip 2010, o 14:28

Co oznacza \(\displaystyle{ A\ge 0}\) w przypadku macierzy zespolonej?
Jeśli chodzi o to, że \(\displaystyle{ A}\) ma wyrazy rzeczywiste nieujemne, to umiem pokazać, że \(\displaystyle{ X}\) jest rozmaitością rzeczywistą wymiaru \(\displaystyle{ d^{2} - 1}\), ale nie jestem pewien, czy o to chodzi.

Awatar użytkownika
miki999
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8691
Rejestracja: 28 lis 2007, o 18:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 1001 razy

Wymiar zbioru macierzy

Post autor: miki999 » 15 lip 2010, o 18:02

Zadałem to samo pytanie autorowi w pw i otrzymałem odp.:
fon_nojman pisze:\(\displaystyle{ A \ge 0}\) oznacza, że iloczyn skalarny \(\displaystyle{ <x,Ax>}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ x\in \mathbb{C}^d}\) jest nieujemny.


Pozdrawiam.

Wasilewski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3921
Rejestracja: 10 gru 2007, o 20:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 1194 razy

Wymiar zbioru macierzy

Post autor: Wasilewski » 15 lip 2010, o 20:00

Warto doprecyzować, o jaki wymiar chodzi; prawdopodobnie, tak jak pisze max, chodzi o wymiar tego zbioru jako rozmaitości (podejrzewam, że nad \(\displaystyle{ \mathbb{C}}\)).
Sam zbiór macierzy o śladzie 1 jest hiperpłaszczyzną afiniczną w zbiorze wszystkich macierzy. Obstawiałbym, że te nieujemne macierze stanowią otwarty podzbiór tej hiperpłaszczyzny; jak wymyślę, to dam znać.
Pomyślałem i to, co napisałem powyżej to nieprawda. Po pierwsze, taka nieujemna macierz jest obowiązkowo samosprzężona, a więc diagonalizowalna. Zatem w tym zbiorze mamy macierze samosprzężone o nieujemnych wartościach własnych. Jeśli weźmiemy macierz z tego zbioru, której jedną z wartości własnych jest zero, to w dowolnym otoczeniu znajdziemy macierz o ujemnej wartości własnej. Ponadto, jak podejrzewam, w dowolnym otoczeniu macierzy diagonalizowalnej znajdziemy macierz, która się nie diagonalizuje, a więc nie należy do badanego zbioru.

Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

Wymiar zbioru macierzy

Post autor: max » 15 lip 2010, o 21:08

Wydaje mi się, że chodzi o wymiar topologiczny.

Ten zbiór z naturalną topologią nie jest rozmaitością zespoloną wymiaru \(\displaystyle{ d^{2} - 1}\), właśnie z tego powodu jaki jest napisany post wyżej.

W przeciwnym razie jako podrozmaitość wymiaru \(\displaystyle{ d^{2}-1}\) rozmaitości wymiaru \(\displaystyle{ d^{2} - 1}\), którą jest wspomniana hiperpłaszczyzna musiałby być jej podzbiorem otwartym, a tak nie jest.

Np \(\displaystyle{ \begin{pmatrix}1 & \cdots & 0\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0\end{pmatrix}\in X,}\) ale \(\displaystyle{ \begin{pmatrix}1 & \varepsilon & 0 & \cdots & 0\\ \vdots &\vdots &\vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0\end{pmatrix}\not\in X}\) dla dowolnie małych \(\displaystyle{ \varepsilon>0}\).

Awatar użytkownika
fon_nojman
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1599
Rejestracja: 13 cze 2009, o 22:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 68 razy
Pomógł: 255 razy

Wymiar zbioru macierzy

Post autor: fon_nojman » 15 lip 2010, o 21:56

Nie ujemność \(\displaystyle{ A}\) rozumiana jest tak jak pisał miki999.

\(\displaystyle{ X}\) rozważamy jako podzbiór przestrzeni liniowej macierzy hermitowskich nad ciałem \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\).

Wymiar jako wymiar rozmaitości.

Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

Wymiar zbioru macierzy

Post autor: max » 23 lip 2010, o 19:56

Wydaje mi się, że w tej postaci \(\displaystyle{ X}\) nie jest rozmaitością; będzie nią jeśli zastąpimy \(\displaystyle{ A\ge 0}\) przez \(\displaystyle{ A > 0}\) i wtedy zachodzi teza.
Ukryta treść:    

ODPOWIEDZ