Mierzalność funkcji

Sigma-ciała i zbiory borelowskie. Miary, miary zewnętrze i miara Lebesgue'a. Funkcje mierzalne. Całka Lebesgue'a. Inne zagadnienia analizy rzeczywistej.
reksio2
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 38
Rejestracja: 21 cze 2010, o 12:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 14 razy
Pomógł: 1 raz

Mierzalność funkcji

Post autor: reksio2 » 14 lip 2010, o 10:17

Może mi ktoś wytłumaczyć poniższe zadanie, mile widziane komentarze itd

Niech\(\displaystyle{ f : \mathbb{R} \rightarrow \underline{\mathbb{R}}}\) będzie dana wzorem \(\displaystyle{ f(x)=3_{\chi\mathbb{IQ}}(x)-4_{\chi\mathbb{Q}}(x), \ x \in \mathbb{R}}\)
Zbadać mirzalność funkcji \(\displaystyle{ f}\) względem \(\displaystyle{ (\mathbb{R},\mathcal{M})}\), gdy
(a) \(\displaystyle{ \mathcal{M}=\{\emptyset,\mathbb{R}\}}\),
(b) \(\displaystyle{ \mathcal{M}=\{A \subset \mathbb{R}: card(A) \le \aleph_0 \vee card(\mathbb{R}-A) \le \aleph_0 \}}\),
(c) \(\displaystyle{ \mathcal{M}=2^{\mathbb{R}}}\)

miodzio1988

Mierzalność funkcji

Post autor: miodzio1988 » 14 lip 2010, o 11:15

No to jaki tutaj mamy problem? Jaki zbiór musisz zbadać? (no bo do tego się sprowadza badanie mierzalności funkcji)
Coś takiego :
\(\displaystyle{ \{ x : f(x) <c \}}\)
Ci się kojarzy?
Oczywiście może on inaczej wyglądać dla różnych \(\displaystyle{ c}\)
I każdy podpunkt mówi Ci, które zbiory należą do \(\displaystyle{ \sigma-}\) ciała , a które nie ( to musisz zbadać)

Najpierw pokaż jaki zbiór będziemy badać, a później będziemy sprawdzać czy należy on do \(\displaystyle{ \sigma-}\) ciała

merida26
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 14 lip 2010, o 11:49
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: polska

Mierzalność funkcji

Post autor: merida26 » 14 lip 2010, o 11:55

co mam zrobic z tym wzorem jak go wykorzystać, bo jak jest bez funkcji bez określonego wzoru to jeszcze rozumiem, ale w tym przykładzie nie wiem jak mam zacząć???
Ostatnio zmieniony 14 lip 2010, o 11:57 przez merida26, łącznie zmieniany 1 raz.

miodzio1988

Mierzalność funkcji

Post autor: miodzio1988 » 14 lip 2010, o 11:57

merida26 pisze:co mam zrobic z tą funkcją, bo jak jest bez funkcji to jeszcze rozumiem, ale w tym przykładzie nie wiem jak mam zacząć???
Jak można zbadać mierzalności funkcji bez funkcji??

merida26
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 14 lip 2010, o 11:49
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: polska

Mierzalność funkcji

Post autor: merida26 » 14 lip 2010, o 12:01

jak mam wykorzystać wzór \(\displaystyle{ f(x)=3\chi_{\mathbb{IQ}}(x)-4\chi_{\mathbb{Q}}(x), \ x \in \mathbb{R}}\), bo jeśli mam \(\displaystyle{ f(x)=x}\), czy cos podobnego to rozumiem, a w tym przykładzie nie wiem jak mam zastosować ten wzór
Ostatnio zmieniony 14 lip 2010, o 12:12 przez lukasz1804, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

miodzio1988

Mierzalność funkcji

Post autor: miodzio1988 » 14 lip 2010, o 12:05

Już koleżanka poprawiła.
\(\displaystyle{ {\chi\mathbb{IQ}}(x)}\)
Co oznacza ten symbol? Na pewno z niego korzystaliście na zajęciach. Jak to będziesz wiedziała to będziesz potrafiła zrobić to zadanie

merida26
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 14 lip 2010, o 11:49
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: polska

Mierzalność funkcji

Post autor: merida26 » 14 lip 2010, o 12:13

\(\displaystyle{ \chi\mathbb{IQ}}(x)}\) wartość jest równa 2 a dla \(\displaystyle{ \chi\mathbb{Q}}(x)}\) jest równa 1 tylko czy tutaj też musze rozkładać na funkcję prostą i wtedy stosować czy jak???

miodzio1988

Mierzalność funkcji

Post autor: miodzio1988 » 14 lip 2010, o 12:15

indykator (matematyka) – inna nazwa funkcji charakterystycznej zbioru,

http://pl.wikipedia.org/wiki/Funkcja_ch ... zna_zbioru

Proszę się zapoznać z tym pojęciem. Tyle ode mnie. czekam bardziej na pytania użytkownika reksio2

merida26
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 14 lip 2010, o 11:49
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: polska

Mierzalność funkcji

Post autor: merida26 » 15 lip 2010, o 08:58

A może ktoś inny wytłumaczy mi jak rozwiązać powyższe zadanie???

miodzio1988

Mierzalność funkcji

Post autor: miodzio1988 » 15 lip 2010, o 09:17

miodzio1988 pisze:No to jaki tutaj mamy problem? Jaki zbiór musisz zbadać? (no bo do tego się sprowadza badanie mierzalności funkcji)
Coś takiego :
\(\displaystyle{ \{ x : f(x) <c \}}\)
Ci się kojarzy?
Oczywiście może on inaczej wyglądać dla różnych \(\displaystyle{ c}\)
I każdy podpunkt mówi Ci, które zbiory należą do \(\displaystyle{ \sigma-}\) ciała , a które nie ( to musisz zbadać)

Najpierw pokaż jaki zbiór będziemy badać, a później będziemy sprawdzać czy należy on do \(\displaystyle{ \sigma-}\) ciała
merida26 tutaj masz wszystko napisane...

reksio2
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 38
Rejestracja: 21 cze 2010, o 12:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 14 razy
Pomógł: 1 raz

Mierzalność funkcji

Post autor: reksio2 » 15 lip 2010, o 19:38

Jakby mógł ktoś to rozwiązać, zawsze miałem problem z działem mierzalności. A na przykładzie, to później będę wiedział jak.

miodzio1988

Mierzalność funkcji

Post autor: miodzio1988 » 15 lip 2010, o 19:54

reksio2 pisze:Jakby mógł ktoś to rozwiązać, zawsze miałem problem z działem mierzalności. A na przykładzie, to później będę wiedział jak.
Przykłady były na ćwiczeniach...

Wykazać mierzalność funkcji dla dowolnej stałej \(\displaystyle{ c \in R}\):

\(\displaystyle{ f:[0,2] \rightarrow R}\)

\(\displaystyle{ f(x)= \begin{cases}x \ x \in [0,1] \\ c \ x \in (1,2] \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \{ x:f(x) <d \}= \begin{cases} \emptyset \ d \in (- \infty ,0] c \ge d \\ [0,d) \ d \in (0,1] c \ge d \\ itd \end{cases}}\)

Proszę zerknąć do notatek.

ODPOWIEDZ