Całka oznaczona

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

Całka oznaczona

Post autor: luka52 » 12 lip 2010, o 20:04

Imho ciekawy przykład z piłkarskim podtekstem :
\(\displaystyle{ \int_0^1 \left( \sqrt[2012]{1 - x^{2010}} - \sqrt[2010]{1-x^{2012}} \right) \; \mbox d x}\)
Miłego rozwiązywania .

miodzio1988

Całka oznaczona

Post autor: miodzio1988 » 12 lip 2010, o 22:20

\(\displaystyle{ \sqrt[2012]{1 - x^{2010}}=t}\)
\(\displaystyle{ t ^{2012}=1 - x^{2010}}\)
\(\displaystyle{ x^{2010}= 1- t ^{2012}}\)
\(\displaystyle{ x= \sqrt[2010]{1- t ^{2012}}=(1- t ^{2012}) ^{ \frac{1}{2010} }}\)
\(\displaystyle{ dx= -\frac{1}{2010} (1- t ^{2012}) ^{- \frac{2009}{2010} } \cdot 2012 t ^{2011}}\)

Stałe pomijam, bo na razie całka mnie interesuje
\(\displaystyle{ -\int_0^1 \sqrt[2012]{1 - x^{2010}}dx =- \int_{1}^{0} \sqrt[2009]{(1-t ^{2012}) ^{2010} } \cdot t ^{2012}dt}\)

I dalej przez części. Miki mówi,że jak drugą całkę się tak samo potraktuje to ładnie się skraca. Kto mu wierzy?

Do bani ogólnie podejście. teraz szeregi Później sprzężenie

\(\displaystyle{ - \int_{1}^{0} \sqrt[2009]{(1-t ^{2012}) ^{2010} } \cdot t ^{2012}dt}\)

\(\displaystyle{ u= 1- t^{2012}}\)

\(\displaystyle{ t^{2012} = 1-u}\)

\(\displaystyle{ 2012t^{2011}dt=2012t^{2011}dt =-du}\)

\(\displaystyle{ t ^{2012}dt= t \cdot t ^{2011}dt=- t \cdot \frac{1}{2012} du= - \sqrt[2012]{1-u} \cdot \frac{1}{2012}}\)

\(\displaystyle{ - \int_{1}^{0} \sqrt[2009]{(1-t ^{2012}) ^{2010} } \cdot t ^{2012}dt=- \frac{1}{2012} \int_{1}^{0} u ^{ \frac{2010}{2009} } \cdot (1-u) ^{2012}du}\)

Doliczysz Miki?


Komentarz do tego posta od miki999
Ukryta treść:    

Ostatnio zmieniony 12 lip 2010, o 22:52 przez miodzio1988, łącznie zmieniany 3 razy.

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

Całka oznaczona

Post autor: luka52 » 13 lip 2010, o 18:12

miodzio1988 pisze:(...)\(\displaystyle{ - \frac{1}{2012} \int_{1}^{0} u ^{ \frac{2010}{2009} } \cdot (1-u) ^{2012}du}\)
Z tw. Czebyszewa wynika (zakładając poprawność przekształceń), że taka całka (nieoznaczona) nie wyraża się przez skończoną liczbę funkcji elementarnych.

Awatar użytkownika
miki999
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8691
Rejestracja: 28 lis 2007, o 18:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 1001 razy

Całka oznaczona

Post autor: miki999 » 13 lip 2010, o 18:14

Przecież wystarczyłoby "na chama" to wymnożyć i by coś wyszło. Problem w tym jak to obejść. Czyli w przypadku tej całki i górnej granicy się sprowadzi do obliczenia pewnej specyficznej sumy.

Awatar użytkownika
Nakahed90
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 9096
Rejestracja: 11 paź 2008, o 22:29
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Pomógł: 1871 razy

Całka oznaczona

Post autor: Nakahed90 » 13 lip 2010, o 18:25

luka52 pisze:
miodzio1988 pisze:(...)\(\displaystyle{ - \frac{1}{2012} \int_{1}^{0} u ^{ \frac{2010}{2009} } \cdot (1-u) ^{2012}du}\)
Z tw. Czebyszewa wynika (zakładając poprawność przekształceń), że taka całka (nieoznaczona) nie wyraża się przez skończoną liczbę funkcji elementarnych.

Wg mnie się wyraża, bo 2012 jest liczbą całkowitą.

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

Całka oznaczona

Post autor: luka52 » 28 lip 2010, o 23:36

Nakahed90, oczywiście - coś mi się pomieszało, heh

Jeżeli ktoś jest jeszcze zainteresowany problemem, to podpowiem, że można rozważyć ćwiartkę pola figury opisanej jako \(\displaystyle{ x^{2010} + y^{2012} \le 1}\) zamiast liczyć jakieś straszne całki .

ODPOWIEDZ