Cyfra jedności sumy ciągu arytmetycznego

[Ramzev]

Mam problem z takim zadaniem:

Pokazać, że nie istnieje takie \(\displaystyle{ n}\), że cyfrą jedności sumy \(\displaystyle{ S_n=1+2+3+...+n}\) jest 7 i 9.

Doszedłem do tego, że \(\displaystyle{ S_n}\) można przedstawić w postaci:

\(\displaystyle{ S_n=\frac{n(n+1)}{2}}\)

Ale to chyba nic odkrywczego. Prosiłbym o jakieś wskazówki.

[Miroka]

Zastanów się, jaka może być cyfra jedności wyrażenia \(\displaystyle{ n(n+1)}\), a następnie połowy tego wyrażenia, i masz rozwiązane zadanie.

[Ramzev]

Faktycznie. Po rozpisaniu tego dla kilkudziesięciu kolejnych \(\displaystyle{ n}\) można zauważyć, że ciąg cyfr jedności 1,3,6,0,5,1,8,6,5,5,6,8,1,5,0,6,3,1,0,0 powtarza się cyklicznie.

Dzięki za pomoc.

[Miroka]

Nie potrzeba aż kilkudziesięciu kolejnych n - wystarczy rozważać wyłącznie cyfry jedności, a będzie krócej. Chociaż oczywiście każde rozwiązanie jest dobre, o ile jest poprawne.

[nemezis100807]

Inny sposób na rozwiązanie zadania z czerwonej książki (Zadania zamknięte. Zestaw IX. Zadanie 6)

\(\displaystyle{ \begin{tabular}{|r|r|r|}
\hline
n&a_{n}\textrm{ mod }10&S_{n}\textrm{ mod }10= \left(\sum_{i=1}^{n}{a_{i}\textr{ mod }}10\right)\textr{ mod }10 \\
\hline
1&1&1\\
2&2&3\\
3&3&6\\
4&4&0\\
5&5&5\\
6&6&1\\
7&7&8\\
8&8&6\\
9&9&\uparrow 5\\
\hline
10&0&\downarrow 5\\
11&1&6\\
12&2&8\\
13&3&1\\
14&4&5\\
15&5&0\\
16&6&6\\
17&7&3\\
18&8&1\\
\hline\hline
19&9&0\\
20&0&0\\
21&1&1\\
22&2&3\\
\cdots&\cdots&\cdots\\
\hline
\end{tabular}}\)

zauważ, że ostatnia kolumna wyników jest "symetryczna". Wśród wyników nie ma anie 7 ani 9. Wiersz 12 i 20 to zera. wiersze od 21 będą identyczne jak wiersze od 1 cnd

[omicron]

Liczby naturalne mające cyfrę jedności 7 można zapisać w postaci:

\(\displaystyle{ 10k+7}\)

gdzie \(\displaystyle{ k \in N \cup 0}\)

więc:

\(\displaystyle{ \frac{n(n+1)}{2} = 10k+7}\)

\(\displaystyle{ n^2+n-14=20k}\)

Teraz pasowałoby udowodnić, że \(\displaystyle{ n^2+n-14}\) jest niepodzielne przez \(\displaystyle{ 20}\).