Ekstrema funkcji

Różniczkowalność, pochodna funkcji. Przebieg zmienności. Zadania optymalizacyjne. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku różniczkowego.
Iza11111
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 6 lip 2010, o 18:25
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Sieradz

Ekstrema funkcji

Post autor: Iza11111 » 6 lip 2010, o 18:58

Cześć. Mam pytanie, co prawda te zadania nie są dla mnie tylko mojego brata bo ja dopiero będę zaczynać studia ale ogólnie nie mam problemów z matematyką i chce mu pomóc. Wcześniej w liceum nie miałam styczności z takimi zadaniami, a on w zeszycie ma tylko po jednym przykładzie z każdego dlatego na podstawie jego notatek nie mogę tego do końca zrozumieć. Chodzi mi mianowicie o takie zadania:

Ekstrema funkcji:
f(x,y)= \(\displaystyle{ x^{3}}\)-\(\displaystyle{ y^{3}+3xy}\)

Jak oblicze pochodne z x to wychodzi \(\displaystyle{ 3x^{2}+3y}\)
a z y \(\displaystyle{ -3y^{2}+3x}\)
Domyślam się, że z tego trzeba rozwiązać układ równać, z tego wyszły mi punkty P(0,0) i P(1,-1), ale jak patrzyłam jego inne zadanie ale z tego typu to wychodzą 4 punkty. Dlatego nie wiem czy zawsze muszą być 4? Dalej sobie z tym zadaniem myślę, że poradzę ale chodzi mi o te punkty.

Bo jak ma zadanie \(\displaystyle{ 3x^{2}y-6xy}\)\(\displaystyle{ +y^{3}}\) to wyszły mu 4 punkty P(0,0) P(2,0) P(1,-1) P(1,1), to tak sprawdzałam sobie to te 2 ostatnie punkty wyliczyłam a nie wiem skąd się wzięły te 2 pierwsze.


I jeszcze drugie zadanie, za to nie wiem za bardzo jak się zabrać:
Znajdź minimum
\(\displaystyle{ 3x_{1}+}\)\(\displaystyle{ 4x_{2}}\) - min

\(\displaystyle{ -x_{1}+}\)\(\displaystyle{ x_{2}}\)\(\displaystyle{ \geqslant 1}\)
\(\displaystyle{ 2x_{1}-}\)\(\displaystyle{ x_{2}}\)\(\displaystyle{ \leqslant 0}\)
\(\displaystyle{ x_{1}}\)\(\displaystyle{ \geqslant 0}\)
\(\displaystyle{ x_{2}}\)\(\displaystyle{ \geqslant 0}\)
Ostatnio zmieniony 6 lip 2010, o 19:03 przez Iza11111, łącznie zmieniany 1 raz.

miodzio1988

Ekstrema funkcji

Post autor: miodzio1988 » 6 lip 2010, o 19:01

Źle jest policzona pochodna po \(\displaystyle{ y}\). Brakuje minusa. Ilość punktów może wyjść różna. Nie ma na to reguły.

W drugim funkcji nie widzę. Te nierówności zakreślają nam obszar, ale o tym też musisz wspomnieć

Iza11111
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 6 lip 2010, o 18:25
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Sieradz

Ekstrema funkcji

Post autor: Iza11111 » 6 lip 2010, o 19:08

Z tym minusem machnęłam się przy przepisywaniu na komputer. Bo jakby były tylko te 2 punkty to bym dalej robiła, ale patrząc na ten drugi przykład gdzie są 4 punkty ja też sama wyliczyłam 2, a tych drugich dwóch nie wiem jak znaleźć, dlatego zastanawiam się czy w tym pierwszym przykładzie też jakoś tych 2 punktów nie muszę znaleźć.


A jak mam zabrać się za to drugie zdanie? Bo on w zeszycie nie ma takiego typu zadań rozwiązanych.
Ma coś trochę w podobie to tam dopisywało się x3 i x4, nie wiem czy tutaj też się coś takiego robi.

miodzio1988

Ekstrema funkcji

Post autor: miodzio1988 » 6 lip 2010, o 19:11

1) Jak CI z układu wyszły dwa punkty to ok. Pokaż jak liczyłaś to zweryfikuję to.

2) Ściemę z bratem zostaw dla kogoś innego. No na takie zadania też jest schemat, który znajdziesz w książce, na naszym forum.

http://pl.wikipedia.org/wiki/Mno%C5%BCniki_Lagrange%27a

lub można robić na piechotę

Iza11111
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 6 lip 2010, o 18:25
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Sieradz

Ekstrema funkcji

Post autor: Iza11111 » 6 lip 2010, o 19:34

\(\displaystyle{ 3x^{2}+3y=0}\)
\(\displaystyle{ -3y^{2}+3x=0}\)
\(\displaystyle{ 3y=-3x^{2}}\)
\(\displaystyle{ y=-x^{2}}\)
\(\displaystyle{ -3(-x^{2}^{2})+3x=0}\)
\(\displaystyle{ -3x^{4}+3x=0}\)
\(\displaystyle{ -3(x^{3}-1)=0}\)
\(\displaystyle{ x_{1}=0}\)
\(\displaystyle{ x_{2}=1}\)
\(\displaystyle{ y_{1}=0}\)
\(\displaystyle{ y_{2}=-1}\)

P(0,0) i P(1,-1)

Dalej mi wyszło:
6x*(-6y) - 3*3= -36xy-9

Nie wiem czy dobrze. A z bratem mówiłam poważnie. Dlatego jestem cienka z tego bo rozwiązuje tylko na podstawie jego notatek, a tam prawie żadnego zadania nie ma rozwiązanego tylko gotowe wyniki.

H(0,0)=-9
H(1,-1)=27

miodzio1988

Ekstrema funkcji

Post autor: miodzio1988 » 6 lip 2010, o 19:38

Punkty są dobrze wyliczone. Zapis do bani.

Iza11111
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 6 lip 2010, o 18:25
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Sieradz

Ekstrema funkcji

Post autor: Iza11111 » 6 lip 2010, o 19:44

Ale w jakim sensie do bani? Układ równań czy ta reszta? Ale będą tylko te 2 punkty? Mógłbyś napisać coś więcej?

miodzio1988

Ekstrema funkcji

Post autor: miodzio1988 » 6 lip 2010, o 19:46

Ale w jakim sensie do bani?
W takim, że niektóre równości są tutaj nieprawdziwe.
Układ równań czy ta reszta?
Układ. Reszty nie sprawdzam
Ale będą tylko te 2 punkty?
Tak.
Mógłbyś napisać coś więcej?
Tak

Iza11111
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 6 lip 2010, o 18:25
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Sieradz

Ekstrema funkcji

Post autor: Iza11111 » 6 lip 2010, o 19:59

To w punkcie 0,0 będzie brak ekstremum, a w (1,-1) wyszło 27 i f(\(\displaystyle{ x^{2}}\)) =6 (min?)
i jak to dalej robię? Bo jak widze w jego zeszyscie, to ma 4 punkty, 2 odrzuca bo są <0 a 2 są>0. I w tym jednym wydzodzi max, a w drugim min.
A w tym przykładzie będzie tylko min?

miodzio1988

Ekstrema funkcji

Post autor: miodzio1988 » 6 lip 2010, o 20:00

\(\displaystyle{ f(x^{2})}\)
eee? Co to ma być?
A w tym przykładzie będzie tylko min?
No jak tak wyjdzie to tak. Są tylko dwa punkty podejrzane, więc trzeba zbadać pewien wyznacznik...

Iza11111
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 6 lip 2010, o 18:25
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Sieradz

Ekstrema funkcji

Post autor: Iza11111 » 6 lip 2010, o 20:24

On ma w zeszycie na innym przykładzie detH(1,-1)=36 >0 (istnieje ekstremum)
\(\displaystyle{ \frac{f}{ x^{2} }}\)= 6y (tylko, że przed f i x ma jeszcze jakiś znaczek)

to ja zrobiłam na podstawie tego , tylko z innymi danymi

Wiem, że pewnie masz mnie za idiotkę, ale jak ja nie miałam nigdy tego w szkole to dla mnie to jest czarna magia, pierwszy raz widze niektóre te "znaczki". Pochodych też nie miałam w szkole, ale przeglądając jego zeszyt już trochę do tego doszłam. Staram się to jakoś pojąć, ja po prostu jak mi ktoś pokarze jak to się robi to raczej zrozumiem. Tylko, że jak on ma jeden przykład i to w większości gotowe wyniki to cięzko mi do tego dojść.
A mój brat jest na zaocznych studiach i nie pamięta jak to profesor rozwiązywał na wykładach, raczej starał się przepisać z tablicy. Dlatego teraz razem przysiadamy do tego i staramy się to jakoś zrozumieć.


Najbardziej mnie zastanawiają te punkty. Bo tak jak pisałam ten drugi przykład to miał w zeszyscie 4, a jak rozwiązywałam układ to mi wyszły 2.


Ma taki zapis:
\(\displaystyle{ y=0}\)
\(\displaystyle{ x^{2}-2x+}\)\(\displaystyle{ y^{2}=0}\)

y=0
x(x-2)=0

y=0 y=0
x=0 i x=2

i

x=1
\(\displaystyle{ x^{2}-2x+}\)\(\displaystyle{ y^{2}=0}\)

x=1
\(\displaystyle{ y^{2}=1}\)

x=1 i x=1 y=-1 y=1


Nie rozumiem tylko jak to jest zrobione?
\(\displaystyle{ x^{2}-2x+}\)\(\displaystyle{ y^{2}=0}\)
czemu ten y2 jest przeniesiony do tego drugiego równania?
Nie wiem może jakiś sposób taki jest w tych zadaniach? Ja w liceum z czymś takim się nie spotkałam

ODPOWIEDZ