Matematyka.pl

Mamy trzy kolejne liczby naturalne. Suma ich kwadratów równa jest 50ciu. Rozpoznaj jakie to liczby.

Moje rozwiązanie (trochę niestandardowe).

\(\displaystyle{ a^2 + b^2 + c^2 = 50}\)

\(\displaystyle{ a = a}\)
\(\displaystyle{ b = a+1}\)
\(\displaystyle{ c = a+2}\)

\(\displaystyle{ a^2 + (a+1)^2 + (a+2)^2 = 50}\)

\(\displaystyle{ a^2 + a^2 + 1 + a^2 +4 = 50}\)

\(\displaystyle{ 3a^2 +5 = 50}\)

\(\displaystyle{ 3a^2 = 45 |:3}\)

\(\displaystyle{ a^2 = 15}\)

ale żeby obliczyć środkową liczbę, łamiemy zasady po raz kolejny
\(\displaystyle{ a^2 = 15 +1}\)



\(\displaystyle{ a^2 = 16}\)

\(\displaystyle{ a = 4}\) (przy czym jest to środkowa liczba, nie pierwsza jak u góry)

Sprawdzenie=
\(\displaystyle{ 9+16+25 = 50}\) (dla liczb 3,4,5).

Wiem że tak się nie liczy także nie bluzgać. Ale teraz zagadka ^^ rozgarnięci od razu załapią.

1. Dlaczego pierwiastek z 15 nie daje mi pierwszej liczby którą jest 3 ^^
2. Dlaczego musiałem dodać jedynkę?


Dodam że w zasadzie matematyka jest tu poprawna, jedynkę dopisałem bo jadę na skróty i nie przedstawiam całego planu logiki rozumowania - dlatego wydaje się że ona jest z tyłka. Dodam że to działa zawsze w takich zadaniach z trzema kolejnymi liczbami N Mimo błędnego zapisu obliczamy co trzeba, mimo że popełniamy błąd bo tam jest błąd ale tak miało być.

Rozwiązanie oczywiście złe, bo przecież \(\displaystyle{ (a+1)^2 \neq a^2+1}\)
Poza tym jak już otrzymałeś \(\displaystyle{ a=4}\) to wróć do podstawień, dostaniesz trójkę \(\displaystyle{ (4,5,6)}\)

Już poprawniej byłoby odgadnąć te liczby

Wiem że tak się nie liczy także nie bluzgać. Ale teraz zagadka ^^ rozgarnięci od razu załapią.

ehem....nie na tym polega "zagadka"

xanowron pisze:Rozwiązanie oczywiście złe, bo przecież \(\displaystyle{ (a+1)^2 \neq a^2+1}\)
Poza tym jak już otrzymałeś \(\displaystyle{ a=4}\) to wróć do podstawień, dostaniesz trójkę \(\displaystyle{ (4,5,6)}\)

Dokładnie i dzięki za edycje, będę jechał latexem już.

Ale jak widzicie po dodaniu 1 do źle policzonego kwadratu, zawsze wychodzi a+1 czyli środkowa liczba.

Można też zapisać inaczej, wychodzi:

\(\displaystyle{ a^{2} = \sqrt{15}}\)

i teraz po dodaniu 1 (pod pierwiastek), kształtuje nam się \(\displaystyle{ b}\) ale to w ogóle wydaje się być chore.

Myślę że ta jedynka która zawsze działa to jakiś przypadek, ogółem źle liczę kwadrat sumy, nie stosując skróconego mnożenia. Ale B ma się tak do A że to A+1, może o to chodzi. W każdym bądź razie, np: dla 5ciu kolejnych naturalnych (sumy ich kwadratów) mota się już inaczej.

btw: zrobiłem tak na sprawdzianie i dostałem część punktów normalnie chyba by było 0 i bania za herezję.

miodzio1988 pisze:Wiem że tak się nie liczy także nie bluzgać. Ale teraz zagadka ^^ rozgarnięci od razu załapią.

ehem....nie na tym polega "zagadka"

no dobra wiem, przegłem ale ogółem ta prowizorka jakoś działa.

Trzeba sobie przemianować na B tylko, wcisnąć to 1, i będzie ładnie ale wy pewnie nie akceptujecie takich...

*** EDIT ****

Eureka! To jest cecha stała! Aaaa! Padaka normalnie!

Spójrzcie panowie:

Kiedy dodajemy kwadraty 3 kolejnych, trzeba dodać 1. Kiedy dodajemy 5 trzeba wsadzić 4, a kiedy 7 trzeba 9.

Czyli zawsze trzeba wsadzić kwadrat ilości liczb znajdujących się za "środkową". Przy 5 mam [][][x][1][2] czyli 2x2 = 4 i to pod pierwiastek, aby wyszła środkowa.

Formuję twierdzenie:

Ażeby obliczyć liczbę środkową, składającą się na sumę kwadratów trzech postępujących po sobie liczb naturalnych, posiadając wynik tej sumy yyyy musimy:
odjąć od tego wyniku liczbę równą:
Ilość liczb naturalnych z zadania - 1 a następnie to co wyjdzie, liczmy sumę kwadratów dla kolejnych liczb, odejmujemy to od wyniku z zadania, potem dzielimy przez ilość naturalnych z zadania, dodajemy tajemniczą liczbę równą:
kwadrat ilości tych tych co są za środkową pierwiastkujemy i VOILA! Mamy środkową.

*************************************
Przykład:

a+b+c+d+e+f+g (jest ich 7) = 280
teraz 7-1 = 6 => 1,2,3,4,5,6 sumujemy kwadraty tych liczb, wychodzi: 91
280 - 91 = 189
189/7 (bo jest w zadaniu 7)
=27
Dodajemy do 27, \(\displaystyle{ 3^{2}}\) dlatego bo za środkową mamy 3 liczby, a ich kwadrat to element stały.
Wychodzi nam 36 Ta daa!
Pierwiastkujemy 36 i co wychodzi.. wychodzi środkowa czyli 6!!

3,4,5,[6],7,8,9 oto te liczby.
************************************

ale wy pewnie nie akceptujecie takich...

No nie wolno akceptować błędów takich jak tutaj:

\(\displaystyle{ a^2 + (a+1)^2 + (a+2)^2 =a^2 + a^2 + 1 + a^2 +4}\)

I każdy szanujący się matematyk Ci to powie. No i korzystając z takich " smaczków " można masę bzdur pokazać

Edytowałem posta jak odpisałeś zobacz teraz

Przykład:

a+b+c+d+e+f+g (jest ich 7) = 280
teraz 7-1 = 6 => 1,2,3,4,5,6 sumujemy kwadraty tych liczb, wychodzi: 91
280 - 91 = 189
189/7 (bo jest w zadaniu 7)
=27
Dodajemy do 27, \(\displaystyle{ 3^{2}}\) dlatego bo za środkową mamy 3 liczby, a ich kwadrat to element stały.
Wychodzi nam 36 Ta daa!
Pierwiastkujemy 36 i co wychodzi.. wychodzi środkowa czyli 6!!

3,4,5,[6],7,8,9 oto te liczby.
************************************

To chore twierdzenie sporządzone w poście wyżej, omija ten błąd, bo nie liczmy tak jak w pierwszym poście. Jest ono troszkę zamotane ale działa, i wychwytuje element stały czyli ten kwadrat, ilości znajdujących się za środkową.

Dla dziewięciu też działa, zawsze działa, O_o tylko pojawia się pojęcie ilości liczb i to dwa razy, nie liczby jako takiej.

alfa01, to teraz skorzystaj ze swoich twierdzeń i znajdź rozwiązania:

\(\displaystyle{ a ^{2} +b ^{2} +c ^{2} = 245}\)
tym samym sposobem tylko

ee dobra próbuję:

245.. odejmuje 5.. (suma 1x1 + 2x2) jest 240..
240/3 daje 80..
to teraz trzeba dodać 1.. wychodzi 81.
Pierwiastkuje 81 wychodzi mi 9 i to środkowa.

Sprawdzenie:
liczby: 8,9,10

64+81+100=181+64=245

zgadza się.

================ jeszcze raz wyjaśnienie tego co robię:
Mamy nieparzystą ilość, liczb N, kolejnych po sobie, podniesionych do kwadratu, suma tego wszystkiego wynosi X.

\(\displaystyle{ a^{2}+ b^{2}+ c^{2}=X}\)

Krok 1
Od ilości liczb (tutaj 3) odejmuje 1, wychodzi 2.
Teraz sumuje kwadraty liczb składających się na liczebność 2.
Czyli \(\displaystyle{ 1^{2}+ 2^{2} = 1+4 = 5}\)
Odejmuje ten wynik (tutaj 5) od X.

Krok 2
To co wyjdzie dzielę przez liczebność, liczb naturalnych z zadania.
X/3

Krok 3
Do tego co wyjdzie z dzielenia, dodaje liczbę równą kwadratowi liczebności liczb znajdujących się za środkową. Mamy 3 liczby, czyli za środkową (drugą) jest jedna tylko. Czyli dodaje do tego\(\displaystyle{ 1^{2}}\)

Krok 4
Pierwiastkuje, to co mi wyjdzie z kroku 3, i to co wyjdzie z pierwiastka to liczba środkowa.

Możliwe, że to działa, ale fakt, że działa dla 3,5,9, nie znaczy, że działa dla każdej ilości liczb. Udowodnij to, to nikt nie będzie Ci zarzucał herezji, które jak na razie są tylko hipotezą.

Dla 3,5,9 nie działa. Działa kiedy to są kolejne liczby naturalne. Jeśli chodzi o dowodzenie to to może być skomplikowana sprawa.

Pisałem o ilości liczb, a nie o tym, jakie to są liczby. Zresztą pisałem, że chodzi mi o ilość.

Nie mam siły myśleć nad tym jak to dowieść/obalić. W każdym razie wydaje się być ok, ale do momentu kiedy tego nie dowiedziesz do niczego się nie nadaje. Wszystkie tego typu równania sprowadzają się do banalnego równania kwadratowego i tym sposobem są w pełni poprawne matematycznie, a rozwiązanie zajmuje kilkanaście sekund więcej czasu

Zapewne da się wykorzystać wzór \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n}i^{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}\)
a nawiasem pisząc ja bym skorzystał z podstawienia trzech kolejnych liczb naturalnych jako \(\displaystyle{ n-1,n,n+1}\)
Ładnie sie upraszcza i prościej liczy bez niepotrzebnego liczenia delty.

Inkwizytor pisze: a nawiasem pisząc ja bym skorzystał z podstawienia trzech kolejnych liczb naturalnych jako \(\displaystyle{ n-1,n,n+1}\)
Ładnie sie upraszcza i prościej liczy bez niepotrzebnego liczenia delty.

Właśnie o takim podstawianiu mówiłem mając na myśli banalne równanie kwadratowe (nieparzysta ilość wyrazów gwarantuje, że możemy sobie to podstawienie "rozszerzyć" w obie strony (tzn dopisać n-2 i n+2 itd.) i nadal się redukuje ładnie)