Matematyka.pl

Witam!
Poszukuję wzoru funkcji f(x), który dawałby następujące wyniki:
f(1)=7
f(2)=7
f(3)=7
f(4)=7
f(5)=7
f(6)=7

f(7)=15
f(8)=15

f(9)=19
f(10)=19
...
Generalnie reguła jest taka, że dla 6 argumentów jest taka sama wartość, potem dla 2 kolejnych się zwiększa się o 8, a dla kolejnych 6 zwiększa się o 4 i cała sprawa zaczyna się od nowa. Pytanie moje polega na tym, że potrzebuję jakiegoś wzoru tej funkcji, który właśnie tak by się zachowywał. Ktoś pomoże?

Dziedzina jaka? Naturalne, rzeczywiste, całkowite?

No z tego co widać, to naturalne, ale to ma mniejsze znaczenie. Mogą być rzeczywiste, ale ja i tak tylko potrzebuję naturalnych. Może ktoś pomoże mi rozwiązać inny problem, a mianowicie, chodzi o wzór:

f(1)=1
f(2)=0
f(3)=-1
f(4)=0
f(5)=1
f(6)=0
f(7)=-1
f(8)=0

itd. Czyli dla wszystkich parzystych jest 0, a dla nieparzystych na przemian 1 i -1. Bardzo by mi to pomogło w rozwiązaniu tego wcześniejszego problemu.

\(\displaystyle{ f(x)=\sin ( \frac{\pi}{2} \cdot x)}\)

Co do pierwszego:

i cała sprawa zaczyna się od nowa.

Tzn., że znowu zaczyna od \(\displaystyle{ 7}\), czy otrzymana na końcu wartość powtarza się 6 razy i następnie następuje dodawanie?

W jakiej formie ma być ten wzór i jakich funkcji można używać?

Generalnie co do tego drugiego wzoru, to próbowałem coś wykombinować korzystając z \(\displaystyle{ (-1)^{x}}\), ale widzę, ze twój wzór jest spoko, nie wpadłem na to. Co do pierwszego, to dalej będzie:

f(11)=19
f(12)=19
f(13)=19
f(14)=19

f(15)=19+8=27
f(16)=19+8=27

i dalej

f(17)=27+4=31
f(18)=27+4=31
f(19)=27+4=31

itd. Rozumiesz? Forma wzoru dowolna, byleby ta własność została zachowana. Ogólnie dziedzina to będą liczby naturalne, więc poszukuję raczej wzoru na wyraz ogólny ciągu niż funkcji, ale przecież ciągi to też funkcje.

Edit: 06.07.2010 22:10
Jestem na tropie. Potrzebuję teraz wzoru, który będzie dawał takie wyniki:

f(1)=7
f(2)=15
f(3)=19
f(4)=27
f(5)=31
f(6)=39

Czyli podobnie jak w pierwszym, tylko teraz po kolei.

\(\displaystyle{ \sin^2(\frac{\pi}{2} n)(6(n-1)+7)+(1-\sin^2(\frac{\pi}{2} n))(6n+3)}\)

Możesz to sobie jeszcze uprościć

A co do wyjściowego to analogicznie zabawa z sinusami np.

Przypuszczam, że i bez trygonometrii da się pokombinować wykładnikami

Czyli w efekcie wzór ostateczny wychodzi tak:

\(\displaystyle{ \sin^2(\frac{\pi}{2}* \frac{ \frac{2n+1-(-1)^{n} }{4} + \sin( \frac{\pi(2n+1-(-1) ^{n}) }{8} )}{2} )(6 (\frac{ \frac{2n+1-(-1)^{n} }{4} + \sin( \frac{\pi(2n+1-(-1) ^{n}) }{8} )}{2} )+1)+(1-\sin^2(\frac{\pi}{2}* \frac{ \frac{2n+1-(-1)^{n} }{4} + \sin( \frac{\pi(2n+1-(-1) ^{n}) }{8} )}{2} ))(6 (\frac{ \frac{2n+1-(-1)^{n} }{4} + \sin( \frac{\pi(2n+1-(-1) ^{n}) }{8} )}{2} )+3)}\)

Teraz dwa pytania. Czy da się to jakoś u prościć? I czy da się to jakoś zrobić, bez użycia funkcji trygonometrycznych. Pozdr

robomanus pisze: Jestem na tropie. Potrzebuję teraz wzoru, który będzie dawał takie wyniki:

f(1)=7
f(2)=15
f(3)=19
f(4)=27
f(5)=31
f(6)=39

\(\displaystyle{ a_n=6n+2+(-1)^n}\)

Tego piętrowca trygonometrycznego raczej nie ma jak uprościć.

Pozdrawiam.

Może ktoś pomoże mi rozwiązać inny problem, a mianowicie, chodzi o wzór:

f(1)=1
f(2)=0
f(3)=-1
f(4)=0
f(5)=1
f(6)=0
f(7)=-1
f(8)=0

To może i taki wzór dałoby się napisać bez trygonometrii? Bardzo ułatwiłoby to sprawę

\(\displaystyle{ f(n)=\frac{((-1)^n-1) \cdot (-1)^{\frac{n-1}{2}}}{-2}}\) może być?

Ciężka sprawa. Tutaj trygonometria to naprawdę najlepszy pomysł. Jedyne co wymyśliłem, to:

Funkcja okresowa o T=4 dla \(\displaystyle{ n \in <-1,3>}\)

\(\displaystyle{ f(n)=1-|n-1|}\)-- 7 lipca 2010, 14:42 --Nie może. Dla każdego parzystego n liczba \(\displaystyle{ (-1)^{ \frac{n-1}{2}}}\) nie istnieje w zbiorze liczb rzeczywistych.

Niestety wyrażenie \(\displaystyle{ (-1) ^{ \frac{n-1}{2} }}\) Daje dla liczb parzystych wartość nieistniejącą. Coś jest nie tak.

Edit

Problem w tym, że z funkcjami trygonometrycznymi niewiele da się zrobić i powstają takie piękne wzory jak ten na pierwszej stronie, które są, no cóż, mało przystępne, a policzyć coś z tego, to naprawdę wyczyn. O ile dla 1, 2 i 3 będzie spoko, to policzyć dla 100 będzie już kłopot.

robomanus pisze:Niestety wyrażenie \(\displaystyle{ (-1) ^{ \frac{n-1}{2} }}\) Daje dla liczb parzystych wartość nieistniejącą. Coś jest nie tak.

Nic z tych rzeczy, daje wartość \(\displaystyle{ i}\) lub \(\displaystyle{ -i}\) zależnie od reszty z dzielenia n przez 4. Jednak jeśli nie znasz liczb zespolonych lub masz jakieś inne obawy z nimi związane, to powinien rozwiać je fakt, że w funkcji, którą zaproponowałem, i tak wartość będzie cały czas rzeczywista, bo liczby zespolone są automatycznie zerowane przez ten czynnik po lewej. Wystarczy, żebyś wiedział tyle, że dla każdej liczby zespolonej \(\displaystyle{ z}\) zachodzi \(\displaystyle{ z \cdot 0=0}\).

tkrass ma rację. Nie zauważyłem tego. Fakt, że ta liczba będzie zerowana. Szkoda, że mój kalkulator graficzny tego nie zauważył xD

Edit

No dobra. Po długich zmaganiach mamy ostateczny wzór, wygląda on tak:

\(\displaystyle{ \frac{6n+11-3(-1)^{n}-6((-1)^{n}-1)*(-1)^{ \frac{n-1}{2} }+4(-1)^{ \frac{2n+1-(-1)^{n}-2((-1)^{n}-1)*(-1)^{ \frac{n-1}{2} }}{4} }}{4}}\)

Nie sprawdzałem, czy jest poprawny, ale powinien działać, zaraz się zabieram do sprawdzenia. Jak ktoś chce, to może też sprawdzić, będzie wiarygodniej.

Edit

Ok. Tamten wzór leci do lamusa. Mam nowy i tym razem musi działać na 100%. Żeby nie gmatwać postanowiłem trochę uprościć sprawę:

\(\displaystyle{ 6\Delta_3+2+(-1)^{\Delta_3}}\)

I teraz

\(\displaystyle{ \Delta_3=\frac{\Delta_1+\Delta_2}{2}}\)
\(\displaystyle{ \Delta_1= \frac{2n+1-(-1)^n}{4}}\)
\(\displaystyle{ \Delta_2= \frac{((-1)^{\Delta_1}-1)*(-1)^{ \frac{\Delta_1-1}{2} }}{-2}}\)

Teraz musi być dobrze. Biorę się za sprawdzanie. Co o tym sądzicie?

Edit

Świetnie! Wzór działa wyśmienicie. Dzięki wam wielkie za pomoc, ale to jeszcze nie koniec moich zmagań. Bo cel który mi przyświeca jest zupełnie inny. Tak czy siak, dzięki.