Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ x_{1}=a}\), \(\displaystyle{ x_{2}=b}\), \(\displaystyle{ x_{n}=\frac{x_{n-1}+x{n-2}}{2}}\) udowodnić że ciąg \(\displaystyle{ x_{n}}\) ma granicę i znaleźć ją.

Najprawodopodobniej istnieje jakieś prostsze rozwiązanie, ale może to wystarczy:
Najpierw dowodzimy, że ciąg określony wzorem \(\displaystyle{ x_n= a\cdot ft(\frac13-\frac43\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)^{n}\right)+ b\cdot ft(\frac23+\frac43\cdot\left(-\frac12\right)^{n}\right)}\) spełnia podany wzór rekurencyjny (trzeba tylko sprawdzić, że \(\displaystyle{ x_{n-1}+x_{n}=2x_{n+1}}\) oraz \(\displaystyle{ x_1=a,\ x_2=b}\), co wygląda strasznie, ale w rzeczywistości jest dość proste; w każdym razie znacznie prostsze niż zgadnięcie wzoru ogólnego, który na szczęście przy pisaniu rozwiązania zgadnąć wolno). Ciąg jest wyznaczony przez warunki zadania jednoznacznie, więc znaleźliśmy wzór ogólny ciągu. Teraz wystarczy zauważyć, że skoro \(\displaystyle{ \left|-\frac12\right|ft(\frac13-\frac43\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)^{n}\right)+ b\cdot ft(\frac23+\frac43\cdot\left(-\frac12\right)^{n}\right)= \\ a\cdot ft(\frac13-\frac43\cdot\lim\limits_{n\to\infty}\left(-\frac{1}{2}\right)^{n}\right)+ b\cdot ft(\frac23+\frac43\cdot\lim\limits_{n\to\infty}\left(-\frac12\right)^{n}\right)=\\ a\cdot ft(\frac13-\frac43\cdot 0\right)+ b\cdot ft(\frac23+\frac43\cdot 0\right)= \frac13\cdot a+\frac23\cdot b}\).

Mam nadzieję, że to pomoże.