Oblicz jaką należy wykonać pracę.

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
veldrim
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 72
Rejestracja: 29 sie 2008, o 20:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Zielona Góra
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 4 razy

Oblicz jaką należy wykonać pracę.

Post autor: veldrim » 4 lip 2010, o 07:54

Mam za zadanie obliczyć pracę jaką wykonamy podczas podnoszenia jednorodnego sznura (gęstość liniowa 1kg/m) o długości L=1m na wysokość h=1m. Nie można tutaj skorzystać ze wzoru W=F*s, bo siła zależy od wysokości, im wyżej tym większą część sznura podnosimy, stąd mamy coraz większą siłę.


Stąd:
\(\displaystyle{ F(x)=g*m(x)}\)
g - przyspieszenie grawitacyjne [mam przyjąć 9,81]

\(\displaystyle{ F(x)= \sum_{i=1}^{n}g* d*x_{i}\Delta x}\)
d- gęstość liniowa

Gdzie \(\displaystyle{ 0<x_{1}<x_{2}<...<L:}\)

A więc dla

\(\displaystyle{ \lim_{\Delta x \to 0} F(x)=\lim_{\Delta x \to 0} \sum_{i=1}^{n}g* d*x_{i}\Delta x= \int_{0}^{L}gdxdx = \frac{1}{2}gdL^{2}}\)

I podstawiam do tego wzoru

\(\displaystyle{ W= \frac{1}{2}*9,81*1*1 \approx 4,9J}\)

Czy jest to dobrze zrobione? Jestem w miarę przekonany do swojego rozwiązania, ale nie pokrywa się to z odpowiedzią do tego przykładu. Proszę was o sprawdzenie, a w razie błędów będę wdzięczny za nakierowanie mnie na właściwy trop.

Awatar użytkownika
miki999
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8691
Rejestracja: 28 lis 2007, o 18:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 1001 razy

Oblicz jaką należy wykonać pracę.

Post autor: miki999 » 4 lip 2010, o 10:21

Ogólnie z fizyki jestem noga, ale wymyśliłem coś takiego:
Wikipedia pisze:\(\displaystyle{ W_L =\int_{L} \vec{F} \cdot \mathrm{d}\vec{s}}\)
Jeżeli podnoszenie sznura następuje poprzez przyłożenie siły w środku sznura, to sytuacja przedstawia się tak (ewentualnie udowodnić, że pkt. przyłożenia nie ma znaczenia):

(rysunek niechlujny, ale mam nadzieję, że widać o co chodzi), zatem:
\(\displaystyle{ W =\int_{L} F \cdot \mbox{ds}= \int_{0}^{h}F \mbox{dh}= \int_{0}^{h} mg \mbox{dh}\mathop{=}^{\star} \int_{0}^{h} 2 \cdot \rho h g \mbox{dh}=...}\)


\(\displaystyle{ \star}\)- na danej wysokości \(\displaystyle{ h}\), masa wynosi: \(\displaystyle{ m=l \cdot \rho = 2h \cdot \rho}\)- co starałem się pokazać na rysunku. No i trzeba uwzględnić, że sznur może być krótszy niż podwojona wysokość (co jest prawdą), więc będzie trzeba rozbić na sumę dwóch prac- zatem należy powyższą całkę zmodyfikować (a właściwie poprawić), czyli całkować jedynie do \(\displaystyle{ \frac{h}{2}}\), a dalsza praca to zwykły iloczyn masy całego sznura i przesunięcia, które również wynosi \(\displaystyle{ \frac{h}{2}}\).


Fizykiem nie jestem, więc nie gwarantuję poprawności.



Pozdrawiam.

ODPOWIEDZ