[Teoria liczb] Suma trygonometryczna z KMDO

Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Fizus
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 106
Rejestracja: 18 maja 2009, o 21:44
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 10 razy

[Teoria liczb] Suma trygonometryczna z KMDO

Post autor: Fizus » 3 lip 2010, o 23:17

Zadanie to pochodzi z KMDO pana Pawłowskiego. Otrzymuję inny rezultat niż ten przedstawiony w książce, więc proszę o wskazanie, gdzie robię błąd.
Udowodnij równość:
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}\cos \frac{(2k-1) \pi }{n}=0}\)
Wydaje mi się, że to nieprawda, bo dla \(\displaystyle{ n=1}\)
wynik wychodzi -1.
Ostatnio zmieniony 3 lip 2010, o 23:31 przez Fizus, łącznie zmieniany 1 raz.

sushi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3424
Rejestracja: 30 sie 2006, o 14:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Szczecin
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 476 razy

[Teoria liczb] Suma trygonometryczna z KMDO

Post autor: sushi » 3 lip 2010, o 23:21

a widziales kiedys sumowanie od "k=1" do liczby zespolonej ??-- 3 lipca 2010, 22:22 --a poza tym nigdzie nie ma "k" pod suma wiec ...

Awatar użytkownika
Sylwek
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2711
Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 155 razy
Pomógł: 654 razy

[Teoria liczb] Suma trygonometryczna z KMDO

Post autor: Sylwek » 3 lip 2010, o 23:28

Ale wewnątrz funkcji cosinus nie jest tylko \(\displaystyle{ (2n-1) \pi}\), to jest tam jeszcze podzielone przez \(\displaystyle{ n}\) . Swoją drogą to chyba błąd w treści, jedyne co mi przychodzi do głowy, co mogłoby być prawdziwe, to udowodnić, że:
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}\cos \frac{(2k-1) \pi }{n}=0}\)

P.S. Zanim odpisałem, zmieniłeś trochę post - masz rację, ale od \(\displaystyle{ n \ge 2}\) to już jest prawdą. Oczywiście to, co zaproponowałem powyżej

Fizus
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 106
Rejestracja: 18 maja 2009, o 21:44
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 10 razy

[Teoria liczb] Suma trygonometryczna z KMDO

Post autor: Fizus » 3 lip 2010, o 23:38

Oczywiście masz rację, wkradł się tam błąd w zapisie, co już poprawiłem. Z dowodem dla \(\displaystyle{ n \ge 2}\) powinienem już sobie poradzić.

ODPOWIEDZ