układ równań, z warunkami początkowymi

[sstefek]

Potrzebowałbym Waszej pomocy przy rozwiązaniu poniższego zadania:

Rozwiązać układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x'=x+3y \\ y'=-x+5y \end{cases}}\) z warunkami początkowymi x(0)=2, y(0)=1.

z góry dzięki za każdą pomoc ponieważ nie bardzo wiem od czego zacząć :/

[BettyBoo]

Wszystko zależy od tego, jakie znasz metody. Można to rozwiązać zwykłą metodą podstawiania albo za pomocą transformaty Laplace'a.

Pozdrawiam.

[sstefek]

Laplace'a zostawmy na deser . Nie wiem od jakich przekształceń zacząć aby dojść do rozwiązania...
Czy z drugiego równania wyznaczyć x potem policzyć jego pochodną i podstawić do pierwszego?

[lukasz1804]

Zapiszmy dany układ w postaci macierzowej \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{c} \frac{dx}{dt} \\ \frac{dy}{dt} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} 1 & 3 \\ -1 & 5 \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}\right]}\). Niech \(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{cc} 1 & 3 \\ -1 & 5 \end{array}\right]}\). Należy wyznaczyć wartości własne macierzy \(\displaystyle{ A}\) i odpowiadające tym wartościom wektory własne.
Mamy zatem \(\displaystyle{ 0=\det(A-\lambda I)=\left|\begin{array}{cc} 1-\lambda & 3 \\ -1 & 5-\lambda \end{array}\right|=(1-\lambda)(5-\lambda)+3=\lambda^2-6\lambda+8=(\lambda-4)(\lambda-2)}\), czyli \(\displaystyle{ \lambda_1=2, \lambda_2=4}\).
Dla \(\displaystyle{ \lambda_1}\) wyznaczmy rozwiązanie szczególne \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{c} x_1 \\ y_1 \end{array}\right]}\) układu równań \(\displaystyle{ (A-\lambda_1I)\left[\begin{array}{c} x_1 \\ y_1 \end{array}\right]=0}\). Mamy \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc} -1 & 3 \\ -1 & 3 \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} x_1 \\ y_1 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array}\right]}\), skąd \(\displaystyle{ x_1=3y_1}\). Przyjmując np. \(\displaystyle{ y_1=1}\) dostajemy \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{c} x_1 \\ y_1 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} 3 \\ 1 \end{array}\right]}\).

Stąd wynika, że rozwiązaniem danego układu równań różniczkowych odpowiadającym wartości własnej \(\displaystyle{ \lambda_1}\) jest wektor postaci \(\displaystyle{ \varPhi_1(t)=e^{\lambda_1t}\left[\begin{array}{c} x_1 \\ y_1 \end{array}\right]=e^{2t}\left[\begin{array}{c} 3 \\ 1 \end{array}\right]}\).

Podobnie należy teraz wyznaczyć rozwiązanie \(\displaystyle{ \varPhi_2}\) danego układu równań, odpowiadające wartości własnej \(\displaystyle{ \lambda_2}\). Mamy \(\displaystyle{ (A-\lambda_2I)\left[\begin{array}{c} x_2 \\ y_2 \end{array}\right]=0}\), tj. \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc} -3 & 3 \\ -1 & 1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} x_2 \\ y_2 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array}\right]}\), skąd \(\displaystyle{ x_2=y_2}\). Kładąc \(\displaystyle{ y_1=1}\) mamy \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{c} x_2 \\ y_2 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}\right]}\). Zatem \(\displaystyle{ \varPhi_2(t)=e^{\lambda_2t}\left[\begin{array}{c} x_2 \\ y_2 \end{array}\right]=e^{4t}\left[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}\right]}\).

Rozwiązanie ogólne danego układu równań różniczkowych jest postaci \(\displaystyle{ \varPhi_{a,b}(t)=a\varPhi_1(t)+b\varPhi_2(t)=\left[\begin{array}{c} x(t) \\ y(t) \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} 3ae^{2t}+be^{4t} \\ ae^{2t}+be^{4t} \end{array}\right]}\) dla pewnych liczb \(\displaystyle{ a,b\in\mathbb{R}}\).

Analizując zadane warunki brzegowe dostajemy \(\displaystyle{ 2=3a+b, 1=a+b}\), czyli \(\displaystyle{ a=b=\frac{1}{2}}\). Zatem ostatecznie otrzymujemy \(\displaystyle{ x(t)=\frac{3}{2}e^{2t}+\frac{1}{2}e^{4t}, y(t)=\frac{1}{2}e^{2t}+\frac{1}{2}e^{4t}}\) dla \(\displaystyle{ t\in\mathbb{R}}\).

[BettyBoo]

lukasz1804 zaproponował Ci jeszcze trzecią metodę.

Co do podstawiania - można zrobić np tak, jak zaproponowałeś. Ideą jest sprowadzenie jednego z równań tego układu do równania rzędu 2 dla jednej z niewiadomych funkcji.

Z kolei ideą metody operatorowej (opartej na transformacie Laplace'a) jest przetransformowanie układu równań różniczkowych liniowych do zwykłego układu równań liniowych.

Do wyboru, do koloru.

Pozdrawiam.