zbieżność jednostajna ciągu

Istnienie i ciągłość funkcji granicznej, jednostajna zbieżność. Zmiana kolejności przejścia granicznego. Różniczkowanie i całkowanie szeregów. Istnienie i zbieżność rozwinięć Taylora, Maclaurina, Fouriera itd.
Awatar użytkownika
fanch
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 524
Rejestracja: 14 paź 2006, o 16:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: z Polski
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 82 razy

zbieżność jednostajna ciągu

Post autor: fanch » 1 lip 2010, o 21:38

Witam , mam takie zadanie i prosiłbym gdyby ktoś mógł sprawdzić moje rozwiązanie.

zad. Dla n naturalnego i x nieujemnego \(\displaystyle{ f _{n}(x)= \frac{n^{2}x}{n ^{3}+x^{3} }}\).
Zbadać zbieżność jednostajną na : A=[0,27], B=[0,nieskończoność).

i ja to robię tak:

funkcja graniczna f(x) równa się zero dla każdego x rzeczywistego.

dla zbioru A:

\(\displaystyle{ sup|f _{n}(x)-f(x)| le frac{27n^2}{n^3}}\), to dąży do zera gdy n dąży do nieskończoności, więc mamy tutaj zbieżność jednostajną.

dla zbioru B:

liczę pochodną \(\displaystyle{ f _{n} ^{'}(x)}\), przyrównuję licznik do zera i obliczam odpowiedniego \(\displaystyle{ x _{0}}\), dla którego ten licznik równa się zero. Potem liczę \(\displaystyle{ f _{n} (x _{0} )}\) i wychodzi mi jakaś liczbą, konkretna bez żadnego n, różna od zera. Czyli tzn. że zb. jednostajnej nie ma.

Dobrze ?

Awatar użytkownika
Nakahed90
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 9096
Rejestracja: 11 paź 2008, o 22:29
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Pomógł: 1871 razy

zbieżność jednostajna ciągu

Post autor: Nakahed90 » 1 lip 2010, o 22:07

Pokaz jak wyliczyłeś \(\displaystyle{ x_{0}}\), bo powinien on Ci wyjść zależny od n.

Awatar użytkownika
fanch
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 524
Rejestracja: 14 paź 2006, o 16:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: z Polski
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 82 razy

zbieżność jednostajna ciągu

Post autor: fanch » 1 lip 2010, o 22:16

oczywiście x0 wyszedł zależny od n, tylko wartość fn w tym x0 wyszła skończona dodatnia liczba.

Awatar użytkownika
Nakahed90
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 9096
Rejestracja: 11 paź 2008, o 22:29
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Pomógł: 1871 razy

zbieżność jednostajna ciągu

Post autor: Nakahed90 » 1 lip 2010, o 22:26

Czyli wynika nam, że ten ciąg nie jest jednostajnie zbieżny do 0 na tym przedziale.

Awatar użytkownika
fanch
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 524
Rejestracja: 14 paź 2006, o 16:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: z Polski
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 82 razy

zbieżność jednostajna ciągu

Post autor: fanch » 1 lip 2010, o 22:36

ok dzięki.

ODPOWIEDZ