Całka podwójna

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
Wojput
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 42
Rejestracja: 22 sty 2010, o 09:51
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: WBLiW PWr
Podziękował: 11 razy

Całka podwójna

Post autor: Wojput » 1 lip 2010, o 19:10

Obliczyć całkę po obszarze D.
\(\displaystyle{ \iint_{d} 4xy \mbox{d}x \mbox{d}y}\)
D jest obszarem ograniczonym wykresami
\(\displaystyle{ y=\sin x}\)
\(\displaystyle{ y=\cos x}\)
\(\displaystyle{ x \in [0,2\pi]}\)

Narysowałem obszar:

No i zauważyłem, że pole tego wszystkiego, to będzie dwa razy całka z tego obszaru środkowego. Czyli:

\(\displaystyle{ 2\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{4}} \mbox{d}x \int_{\cos x}^{\sin x} 4xy \mbox{d}y = 8\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{4}}x \mbox{d}x \int_{\cos x}^{\sin x} y \mbox{d}y=}\)
\(\displaystyle{ = 4\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{4}}x \left [y^2\right ]_{\cos x}^{\sin x} \mbox{d}x = 4\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{4}}x(\sin^2x-cos^2x)= -4\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{4}}x(cos^2x-\sin^2x) \mbox{d}x = -4\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{4}}x\cos2x \mbox{d}x}\)
No a z tego przez części wychodzi mi \(\displaystyle{ -2\pi}\)

No i po prostu nie wiem, nie widzę błędu...
Jeśli to nie problem, to popatrzcie też na to:
204662.htm
Bo coś nie mam szczęścia do podwójnych chyba...

BettyBoo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5356
Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gliwice
Pomógł: 1380 razy

Całka podwójna

Post autor: BettyBoo » 1 lip 2010, o 19:30

Pole nie ma tu nic do rzeczy - nie liczysz przecież pola tej figury tylko całkę po tym obszarze, a to zupełnie co innego. Zapisz po ludzku sumę 3 całek to wyjdzie.

Pozdrawiam.

Wojput
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 42
Rejestracja: 22 sty 2010, o 09:51
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: WBLiW PWr
Podziękował: 11 razy

Całka podwójna

Post autor: Wojput » 1 lip 2010, o 20:02

Czyli jak całka wyjdzie ujemna, to jest wsio ok? Bo chyba się nie spotkałem z ujemnym wynikiem w swoim krótkim życiu

BettyBoo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5356
Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gliwice
Pomógł: 1380 razy

Całka podwójna

Post autor: BettyBoo » 1 lip 2010, o 20:11

To zależy jaka. Jeśli ma to być pole, masa lub objętość to oczywiście musi być dodatnia. Dla przykładu, jeśli całka oznaczona (pojedyncza) jest ujemna to oznacza tylko tyle, że figura ograniczona wykresem funkcji i osią \(\displaystyle{ OX}\) w większości leży pod osią \(\displaystyle{ OX}\) (w dwóch wymiarach w przypadku standardowym oznacza to, że bryła ograniczona wykresem funkcji dwóch zmiennych i płaszczyzną \(\displaystyle{ XOY}\) leży w większości "pod" płaszczyzną \(\displaystyle{ XOY}\)).

Pozdrawiam.

ODPOWIEDZ