Odległość pomiędzy dwoma płaszczyznami

Obiekty i przekształcenia geometryczne, opisane za pomocą układu (nie zawsze prostokątnego) współrzędnych.
seizer
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8
Rejestracja: 10 maja 2008, o 13:06
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 1 raz

Odległość pomiędzy dwoma płaszczyznami

Post autor: seizer » 30 cze 2010, o 19:47

Mam problem z zadaniem o następującej treści:
Obliczyć odległość pomiędzy płaszczyznami
\(\displaystyle{ \pi _{1} : Ax + y - 2z + C = 0}\)
\(\displaystyle{ \pi _{2} : 2x + 2y + Cz + A = 0}\)
wiedząc, że odległość między nimi jest różna od 0.

Oczywiste jest, że są do siebie równoległe.

Mam rozwiązanie kolegi, które opiera się na uzależnienieniu A od C poprzez założenie, że wektory normalne są do siebie prostopadłe, czyli ich iloczyn skalarny jest równy 0. Według mnie jest to błędne założenie bo gdyby te wektory były do siebie prostopadłe to płaszczyzny by się przecinały.

Crizz
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 4094
Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 805 razy

Odległość pomiędzy dwoma płaszczyznami

Post autor: Crizz » 30 cze 2010, o 20:15

Oczywiście, że to błędne założenie. Te wektory powinny być właśnie równoległe, czyli musi istnieć taka niezerowa liczba rzeczywista k, że \(\displaystyle{ [A,1,-2]=k[2,2,C]}\), czyli:
\(\displaystyle{ \begin{cases} A=2k \\ 1=2k \\ -2=Ck \end{cases}}\)

Stąd \(\displaystyle{ A=1,C=-4}\), czyli równania rozważanych prostych przybierają postać:
\(\displaystyle{ x+y-2z-4=0}\)
\(\displaystyle{ 2x+2y-4z+1=0}\)

Teraz wystarczy skorzystać ze wzoru na odległośc punktu od płaszczyzny:
odległość \(\displaystyle{ (x_{0},y_{0},z_{0})}\) od płaszczyzny \(\displaystyle{ Ax+By+Cz+D=0}\) wynosi
\(\displaystyle{ \frac{|Ax_{0}+By_{0}+Cz_{0}+D|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}}}\).

Znajdujemy dowolny punkt pierwszej płaszczyzny (np. \(\displaystyle{ (0,0,-2)}\)) i liczymy jego odległość od drugiej płaszczyzny: \(\displaystyle{ d=\frac{|2 \cdot 0+2 \cdot 0-4 \cdot (-2)+1|}{\sqrt{2^{2}+2^{2}+4^{2}}}=\frac{3\sqrt{6}}{4}}\).

seizer
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8
Rejestracja: 10 maja 2008, o 13:06
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 1 raz

Odległość pomiędzy dwoma płaszczyznami

Post autor: seizer » 30 cze 2010, o 20:22

Crizz, dzięki wielkie \(\displaystyle{ [A,1,-2]=k[2,2,C]}\) właśnie tej zależności mi brakowało.
Pozdrawiam.

ODPOWIEDZ