[Nierówności] nierówność z logarytmami

Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
robin5hood
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1676
Rejestracja: 2 kwie 2007, o 14:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: warszawa
Podziękował: 178 razy
Pomógł: 17 razy

[Nierówności] nierówność z logarytmami

Post autor: robin5hood » 30 cze 2010, o 18:17

Niech \(\displaystyle{ n>2,n \in \mathbb{N}}\) oraz \(\displaystyle{ a>0,a \in \mathbb{R}}\) takie że \(\displaystyle{ 2^a + \log_2 a = n^2}\). Pokaż że: \(\displaystyle{ 2 \cdot \log_2 n>a>2 \cdot \log_2 n -\frac{1}{n} .}\)

blost
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1994
Rejestracja: 20 lis 2007, o 18:52
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 52 razy
Pomógł: 271 razy

[Nierówności] nierówność z logarytmami

Post autor: blost » 2 lip 2010, o 17:15

nie wiem gdzie robie blad... moze to przez to ze wakacje... ale...

\(\displaystyle{ 2^a + \log_2 a = n^2\Rightarrow 2 log_2n=log_2(2^a + \log_2 a)}\)
\(\displaystyle{ a>2 \cdot \log_2 n -\frac{1}{n}}\)
\(\displaystyle{ a>log_2(2^a + \log_2 a) -\frac{1}{n} \Rightarrow log_22^a-log_2(2^a + \log_2 a)+log_22^{ \frac{1}{n}}>0 \Rightarrow log_2 \frac{2^{ \frac{a}{n}} }{2^a + \log_2 a}>0 \Rightarrow \frac{2^{ \frac{a}{n}} }{2^a + \log_2 a} >1 \Rightarrow 2^{ \frac{a}{n}}>2^a + \log_2 a}\) a to widzimy ze nie jest prawda...

ODPOWIEDZ