Matematyka.pl

Witam, mam pytanie odnośnie jednego zadanka. Oto one:
Jaki jest rząd macierzy
\(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{cccc}6&4&1&A\\3&2&B&11\end{array}\right]}\)
, jeżeli wiadomo, że układ równań

\(\displaystyle{ \begin{cases} 6x+4y+z=A\\3x+2y+Bz=11\end{cases}}\)
jest sprzeczny? Odpowiedź uzasadnić.

Rozwiązując ten układ równań, dostaję takie coś:
\(\displaystyle{ z= \frac{A-22}{1-2B}}\) Więc z tego wynika, że \(\displaystyle{ B\neq \frac{1}{2}}\)
Czyli wiemy, że pierwszy wiersz macierzy jest różny od drugiego. Ale co dalej? Doprowadzić macierz do macierzy schodkowej? Czy to będzie wystarczające uzasadnienie? Rząd macierzy wyjedzie 2?
Dziękuje za odpowiedź. Pozdrawiam.

jezeli jest sprzeczny, to drugie rownanie pomnoz przez 2, przy "z" musi stac to samo, a po prawej stronie musza byc rozne liczby

-- 30 czerwca 2010, 13:50 --

aby byl sprzeczy musisz miec takie cos np:

\(\displaystyle{ \begin{cases} x+y+z =5 \\ x+y +z= 6 \end{cases}}\)

Co to znaczy, że przy z musi stać to samo? Tak zrobiłem. Pomnożyłem drugie równanie razy 2 i odjąłem je od siebie. Wychodzi coś takiego:
\(\displaystyle{ z-2Bz=A-22\\z(1-2B)=A-22}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} 6x+4y+z=A\\6x+4y+2Bz=22\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ 1= 2B}\) ==> \(\displaystyle{ B= \frac{1}{2}}\)

aby byl sprzeczny

\(\displaystyle{ \begin{cases} B= \frac{1}{2} \\ A \neq 22 \end{cases}}\)-- 30 czerwca 2010, 13:56 --rzad macierzy przy wspolczynnikach "x,y,z" bedzie 1 , a rzad macierzy uzupelniowej o kolumne wyrazu wolnego bedzie 2 np: dla pierwszej i ostatniej kolumny (jak dasz np: A=0, aby sie nie meczyc przy liczeniu)

To przechodząc do drugiej części zadania, za B podstawiam 1/2 a za A jakąś liczbę różną niż 22 i sprawdzam rząd macierzy, tak?

macierz wspolczynnikow

\(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{ccc}6&4&1\\3&2&B\end{array}\right]}\)

tutaj rzad 1

macierz uzupelniona

\(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{cccc}6&4&1&A\\3&2&B&11\end{array}\right]}\)

tutaj rzad 2, jak wyjdzie rzad 1, to znaczy ze uklad nieoznaczony (dwa rownania pokrywajace sie)

Czyli uzasadnienie to tego zadania będzie wyglądało tak, że macierz uzupełniona będzie rzędu 1 ponieważ te 2 równania nie mogą być pokrywające się jeżeli wiemy, że ten układ tych równań jest sprzeczny?

sushi pisze: macierz uzupelniona

\(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{cccc}6&4&1&A\\3&2&B&11\end{array}\right]}\)

tutaj rzad 2, jak wyjdzie rzad 1, to znaczy ze uklad nieoznaczony (dwa rownania pokrywajace sie)

jak wyjdzie rzad 1, to znaczy ze uklad nieoznaczony (dwa rownania pokrywajace sie)

czytamy ze zrozumieniem