Matematyka.pl

Kilka przykladów tego typu zrobilem ale te przykłady nie wiem jak rozgryść:( Moze wam sie uda wykazac podzielnosc za pomocą indukcji.
1. \(\displaystyle{ cosx|sin2nx}\)

2.\(\displaystyle{ (x-a)^{2}|[x^{n}-a^{n}-na^{n-1}(x-a)]}\)

3.\(\displaystyle{ (x-a)^{2}|[nx^{n+1}-(n+1)ax^{n}+a^{n+1}]}\)

4.\(\displaystyle{ (x^{2}+x+1)|[(x+1)^{2m+1}+x^{n+2}]}\)

1. sin 2nx= k* cosx {jezeli cos jest dzielnikiem sin 2nx}

pierwsze kroki indukcji sa oczywiste
przejdzmy do 3 kroku- do TEZY
wzor jest prawdziwy dla k=n+1
cosx| sin2(n+1)x

sin (2n+2)x = sin2nx* cos2x + sin2x*cos 2nx= sin2nx *cos2x + 2sinx* cosx*cos 2nx ={zał. indukc.}= k* cosx*cos 2x + 2cosx* sinx* cos 2nx= cosx (k*cos 2x+ sinx*cos 2nx) = cosx * l

czyli zostało pokazane , ze jest prawdziwe

Ad.1. A tak w ogóle, co oznacza podzielność dla liczb niecałkowitych?
W ten sposób mogę udowodnić, że każda liczba dodatnia a dzieli każdą liczbę dodatnią b...
\(\displaystyle{ a\,|\,b \ \Longleftrightarrow\ a\,=\,c\cdot b, \ c\,=\,\frac{a}{b}}\)...