równanie różniczkowe drugiego stopnia

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
przewod
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 55
Rejestracja: 5 lut 2010, o 14:02
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Dąbrowa Górnicza
Podziękował: 7 razy

równanie różniczkowe drugiego stopnia

Post autor: przewod » 29 cze 2010, o 18:26

witam, nie potrafię robić takich zadań, i liczę na Waszą pomoc w nauczeniu się tego

\(\displaystyle{ y''+3y'-2y=e ^{-x} +x ^{2}}\)

\(\displaystyle{ s ^{2} +3s-2=0}\)

liczę deltę i s1, s2, wychodzą dość pokopane liczby więc będę pisał symbolem dalej a nie liczbami

\(\displaystyle{ y=C1e ^{s1x}+C2e ^{s2x}}\)

tyle chyba potrafie, o ile to jest dobrze. tylko co dalej?

BettyBoo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5356
Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gliwice
Pomógł: 1380 razy

równanie różniczkowe drugiego stopnia

Post autor: BettyBoo » 29 cze 2010, o 18:29

Dalej albo metoda uzmienniania stałych albo metoda przewidywania, którą trzeba zrobić dla dwóch oddzielnych równań: \(\displaystyle{ y''+3y'-2y=e ^{-x}}\) oraz \(\displaystyle{ y''+3y'-2y=x ^{2}}\).

Z czym konkretnie masz problem?

Pozdrawiam.

przewod
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 55
Rejestracja: 5 lut 2010, o 14:02
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Dąbrowa Górnicza
Podziękował: 7 razy

równanie różniczkowe drugiego stopnia

Post autor: przewod » 29 cze 2010, o 18:35

konkretnie to mam problem z tym, ze nie wiem za bardzo na czym te metody polegają... "przespałem: akurat ten moment na ćwiczeniach

BettyBoo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5356
Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gliwice
Pomógł: 1380 razy

równanie różniczkowe drugiego stopnia

Post autor: BettyBoo » 29 cze 2010, o 18:45

Metody polegają na wstawianiu do wzoru. Wobec tego najpierw wypadałoby ten wzór znać, nie sądzisz? Wykładów chyba nie przespałeś, co? Jeśli przespałeś, to zajrzyj np tutaj oraz tutaj.

Przeczytaj ze zrozumieniem i spróbuj zastosować w swoim zadaniu (polecam metodę przewidywania, wymaga mniej obliczeń i nie trzeba całkować). Pokaż co tam liczysz, to sprawdzimy czy dobrze.

Pozdrawiam.

przewod
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 55
Rejestracja: 5 lut 2010, o 14:02
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Dąbrowa Górnicza
Podziękował: 7 razy

równanie różniczkowe drugiego stopnia

Post autor: przewod » 29 cze 2010, o 18:49

ale chwila, metoda przewidywania dla oddzielnych równań, tak?
z tego co przegladałęm notatki to to będzie mniej więcej coś takiego:
\(\displaystyle{ ys=Ae ^{-x}}\)
\(\displaystyle{ y's=-Ae^{-x}}\)
\(\displaystyle{ y''s=Ae^{-x}}\)?

i analogicznie drugie równanie

\(\displaystyle{ ys=Ax ^{2}}\)
\(\displaystyle{ y's=2Ax}\)
\(\displaystyle{ y''s=2A}\)

coś takiego? jeśli tak, to co dalej z tym robic?:)

edit: o, dziękuję bardzo, juz się zapoznaję-- 29 cze 2010, o 18:05 --jeśli to choc trochę rozumiem, to gdyby nie było tam na końcu tego \(\displaystyle{ x ^{2}}\), to to co napisałem byłoby dobrze?

BettyBoo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5356
Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gliwice
Pomógł: 1380 razy

równanie różniczkowe drugiego stopnia

Post autor: BettyBoo » 29 cze 2010, o 20:02

Dla pierwszego równania dobrze przewidziałeś rozwiązanie, ale teraz trzeba obliczyć \(\displaystyle{ A}\). Wstaw to co przewidziałeś do równania i oblicz.

Dla drugiego to już tak fajnie nie jest - przewidywane rozwiązanie nie musi być jednomianem, jest wielomianem, a więc \(\displaystyle{ y_s=Ax^2+Bx+C}\). Stałe obliczysz wstawiając to do równania.

Pozdrawiam.

przewod
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 55
Rejestracja: 5 lut 2010, o 14:02
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Dąbrowa Górnicza
Podziękował: 7 razy

równanie różniczkowe drugiego stopnia

Post autor: przewod » 29 cze 2010, o 20:11

czyli \(\displaystyle{ Ae ^{-x} -3Ae ^{-x}-2Ae ^{-x}=e ^{-x}}\)
\(\displaystyle{ A=- \frac{1}{4}}\)?



i teraz analogicznie to z iksem

\(\displaystyle{ y_s=Ax ^{2} +Bx+C}\)
i tak samo liczyć pochodne z tego?
\(\displaystyle{ y'_s=2Ax+B}\)
\(\displaystyle{ y''_s=2A}\)

i to tak samo podstawić do równania:
\(\displaystyle{ 2A+6Ax+3B-2Ax ^{2}-2Bx-2C=x ^{2}}\)? jeśli tak, to czy mogę za A podstawić tu to co wcześniej wyliczyłem?

BettyBoo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5356
Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gliwice
Pomógł: 1380 razy

równanie różniczkowe drugiego stopnia

Post autor: BettyBoo » 29 cze 2010, o 20:17

przewod pisze:czyli \(\displaystyle{ Ae ^{-x} -3Ae ^{-x}-2Ae ^{-x}=e ^{-x}}\)
\(\displaystyle{ A=- \frac{1}{4}}\)?
No, więc z tego masz jedno rozwiązanie szczególne.

przewod pisze: i to tak samo podstawić do równania:
\(\displaystyle{ 2A+6Ax+3B-2Ax ^{2}-2Bx-2C=x ^{2}}\)? jeśli tak, to czy mogę za A podstawić tu to co wcześniej wyliczyłem?
Nie, bo to jest inne równanie i inne \(\displaystyle{ A}\). Liczysz wszystko na nowo.

Stąd otrzymasz drugie rozwiązanie szczególne. Rozwiązanie wyjściowego równania to suma rozwiązania ogólnego (tego z pierwszego posta) i obu rozwiązań szczególnych.

Pozdrawiam.

przewod
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 55
Rejestracja: 5 lut 2010, o 14:02
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Dąbrowa Górnicza
Podziękował: 7 razy

równanie różniczkowe drugiego stopnia

Post autor: przewod » 29 cze 2010, o 20:26

ok, więc chyba już rozumiem dziękuję bardzo za sporą pomoc i cierpliwosć

ODPOWIEDZ