Zbieżność całki niewłaściwej

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
Mikiel
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 53
Rejestracja: 29 cze 2007, o 00:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: z domu
Podziękował: 13 razy
Pomógł: 2 razy

Zbieżność całki niewłaściwej

Post autor: Mikiel » 29 cze 2010, o 02:38

Zbieżność całki niewłaściwej:
\(\displaystyle{ \lim_{ T\to \infty } \int_{2}^{T} \frac{ \frac{ \pi }{2} - arctgx }{x} dx}\)

\(\displaystyle{ \int_{2}^{T} \frac{ \pi }{2} \cdot x - \int_{2}^{T} \frac{arctgx}{x}}\)

jako, że pierwszą z całek obliczę bez problemu, więc skupię się na drugiej

\(\displaystyle{ \begin{cases} u = \frac{1}{x} \\ u'= -\frac{1}{ x^{2} } \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} v = \frac{1}{1 + x^{2}} \\ v' = arctgx \end{cases}}\)
(sory za latexa jeszcze nie jestem super pro.)
\(\displaystyle{ 2 calka = \left[\frac{1}{x^{3} + x} \right]_2^T - \int_{2}^{T} - \frac{1}{x^{4}+x^{2}}}\)\(\displaystyle{ = - \int_{2}^{T} \frac{-dx}{x^{2} \cdot (x^{2} + 1)}}\)
\(\displaystyle{ t = \frac{1}{x}}\)
\(\displaystyle{ - \frac{1}{ x^{2} } dx = dt}\)
\(\displaystyle{ \int_{2}^{T} \frac{dt}{ ( \frac{1}{t} )^{2} + 1 } = - \left[-t^{2}arctg \frac{1}{t} \right]_2^T}\)

Czy całka liczona poprawnie?

pipol

Zbieżność całki niewłaściwej

Post autor: pipol » 29 cze 2010, o 15:02

Skorzystaj z tego, że \(\displaystyle{ 0<\frac{\pi}{2} -\arctan x \le \frac{2}{x}}\) dla dostatecznie dużych \(\displaystyle{ x.}\)

ODPOWIEDZ