Obliczyć całke podwójną, jeżeli D jest trójkątem

apocalyptiq · Post autor: **apocalyptiq** » 28 cze 2010, o 20:54

Mam takie oto zadanie:
Obliczyć \(\displaystyle{ \iint_{D} sin(\pi y) dxdy}\), jeżeli D jest trójkątem o wierzchołkach (0,0), (4,2), (1,2).

Rozumiem że zewnętrzna całka będzie od 0 do 4, jak to wynika z rysunku, ale wewnętrzna jakie będzie mieć krańce?

cosinus90 · Post autor: **cosinus90** » 28 cze 2010, o 20:55

Najlepiej podziel sobie ten trójkąt na dwa obszary, będzie łatwiej.

apocalyptiq · Post autor: **apocalyptiq** » 28 cze 2010, o 21:32

Hm, nigdy nie robiłem tego typu zadań, z trójkątem, nie mam pojęcia jak to podzielić/rozpisać :/-- 28 czerwca 2010, 21:22 --Pogrzebałem na forum i już chyba załapałem, to będzie:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{4}(\int_{\frac{x}{2}}^{2}sin(\pi y)dy)dx - \int_{0}^{4}(\int_{2x}^{2}sin(\pi y)dy)dx}\)?

cosinus90 · Post autor: **cosinus90** » 28 cze 2010, o 22:26

Tak, najprawdopodobniej tak. Dzielisz ten trójkąt "pionowo" od punktu B w dół, powstają 2 obszary.

Post autor: **miki999** » 28 cze 2010, o 23:39

Można też było zrobić bez dzielenia:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{2} dy \int_{ \frac{y}{2} }^{2y} dx\ sin(\pi y)}\)

Pozdrawiam.

cosinus90 · Post autor: **cosinus90** » 29 cze 2010, o 13:45

Tak, o tym nie wspomniałem, można obszar odczytać również w ten drugi sposób, gdzie y jest ograniczone liczbowo, natomiast x funkcyjnie.