Matematyka.pl

1. Niech \(\displaystyle{ a\in [-2,2],\ x\in (0,\infty)}\) i n-naturalne, \(\displaystyle{ n\ge 2}\) . Pokaż że \(\displaystyle{ x^{2n}+ax^n+1\ge |1-x|^{2n}}\) .



2. Znajdz wszystkie liczby całkowite x,y takie że
\(\displaystyle{ x^{3}+27xy+2009=y^{3}}\)


3. Niech \(\displaystyle{ a}\) będzie rzeczywistym pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ - x^3 + 3x^2 + 6x + 1}\)
Nie obliczjąc \(\displaystyle{ a}\), pokaż że:
\(\displaystyle{ \frac{{(x^3 + 3x^2 - 1)^2 }}{{-(x^2 + x + 1)^3 }} = \frac{4}{3}}\)


4.Pokaż że :
\(\displaystyle{ \sqrt[2009]{a^{2009} +b^{2009} +c^{2009} } \leq \sqrt[2008]{a^{2008} +b^{2008} +c^{2008} }}\)



5. Jeśli \(\displaystyle{ a,b>0}\) , pokaż :

\(\displaystyle{ a(a+1)+b(b+1)+\frac{1}{ab}\left(\frac{1}{ab}+1\right)\ge 2\left(ab+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge 6}\)



6. Dane są liczby rzeczywiste \(\displaystyle{ A,B,C>0}\) wykaż nierówność \(\displaystyle{ max(A^2-B, B^2-C,C^2-A) \ge max(A^2-A, B^2-B,C^2-C)}\)



7. Znajdz wszystkie \(\displaystyle{ n \in \mathbb{Z}^{+}}\) takie że \(\displaystyle{ n^2}\) dzieli \(\displaystyle{ 3^{n}+1}\).


8. Rozwiązać w zbiorze liczb całkowitych liczb następujące równanie:

\(\displaystyle{ 2(x^3-xy+y^3)=3(x^2+y^2)}\)




9. a,b,c są pierwiastkami wielomianu \(\displaystyle{ x^3 - (a + b + c)x^2 + (ab + bc + ca)x - abc}\)
Znajdź wielomian, którego pierwiastkami są:
\(\displaystyle{ \frac{{a^2 }} {{2a^2 + bc}},\frac{{b^2 }} {{2b^2 + ca}},\frac{{c^2 }} {{2c^2 + ab}}}\)


10. Pokaż że \(\displaystyle{ (\exists)m\in \mathbb{N}^*}\):

\(\displaystyle{ \left[\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{mn+1}\right]=1\ ,\ (\forall)n\in \mathbb{N}}\)




11. Znajdź wszystkie wartości parametru rzeczywistego \(\displaystyle{ a}\), dla którego istnieje dokładnie jedna funkcja f z liczbami rzeczywistymi do liczb rzeczywistych spełniająca:

\(\displaystyle{ f(x^2+y+f(y))=f(x)^2+ay.}\)


12.\(\displaystyle{ E}\) leży na boku \(\displaystyle{ AD}\) czworokąta \(\displaystyle{ ABCD}\). \(\displaystyle{ \triangle{BEC}}\) jest równoramiennym trójkątem prostokątnym. Niech \(\displaystyle{ AB=a, AE=b, ED=c}\) i \(\displaystyle{ CD=d.}\) Jesli \(\displaystyle{ a^2+b^2+c^2=d^2}\), to znajdz pole \(\displaystyle{ ABCD.}\)




13.Zdefinujmy funkcję rekurencyjnie \(\displaystyle{ S: \mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}}\) , S(0)=0 dla n>0, \(\displaystyle{ S(n)=S(\lfloor\frac{n}{10}\rfloor)+n\bmod 10}\). Oblicz sumę:\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{10^9}{S(n)}}\)



14 \(\displaystyle{ a,b \in N}\) i \(\displaystyle{ a,b > 0}\)
\(\displaystyle{ \frac {ab + 1}{a + b} < \frac {3}{2}.}\) Znajdz maksimum \(\displaystyle{ S = \frac {a^{3}b^{3} + 1}{a^{3} + b^{3}}}\)


15.Dla \(\displaystyle{ n\geq 2}\), niech \(\displaystyle{ a_nx+b_n}\) będzie reszta kiedy \(\displaystyle{ x^n}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ x^2-6x-12}\). Znajdz, dla n, wszystkie liczby pierwsze które są wspólnymi dzielnikami \(\displaystyle{ a_n}\) i \(\displaystyle{ b_n.}\)



16.\(\displaystyle{ P(x) = x^{5} - 5x^{3} + a_3x^{2} + a_{4}x + a_5}\) wielomian o współczynnikach rzeczywistych. Jeśli pierwiastkami \(\displaystyle{ P (x)}\) są \(\displaystyle{ x_5\le x_4\le x_3\le x_2\le x_1}\) oraz \(\displaystyle{ x_5 = - 2\sqrt2}\). Znajdz \(\displaystyle{ a_3,a_4,a_5.}\)

marek12 pisze:4.Pokaż że :
\(\displaystyle{ \sqrt[2009]{a^{2009} +b^{2009} +c^{2009} } \leq \sqrt[2008]{a^{2008} +b^{2008} +c^{2008} }}\)

Zadanie 7

3. Dla każdego (x) ?

Dla mnie to chyba czegoś brak w treści (albo była inna).

Pewnie w ułamku miało być \(\displaystyle{ a}\) zamiast \(\displaystyle{ x}\).

ad 3 ad 8

jeszcze się wakacje nie skończyły

zad 8

zad 1, może gdzieś być blef bo wyszło mi bez jednego założenia

Dla \(\displaystyle{ n\geq 2}\), niech \(\displaystyle{ a_nx+b_n}\) będzie reszta kiedy \(\displaystyle{ x^n}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ x^2-6x-12}\). Znajdz, dla n, wszystkie liczby pierwsze które są wspólnymi dzielnikami \(\displaystyle{ a_n}\) i \(\displaystyle{ b_n.}\)

Niech \(\displaystyle{ x^n=P_n(x)(x^2-6x-12)+a_nx+b_n}\)

mamy w oczywisty sposób:

\(\displaystyle{ xP_{n-1}(x)(x^2-6x-12)+a_{n-1}x^2+b_{n-1}x=P_n(x)(x^2-6x-12)+a_nx+b_n \Leftrightarrow a_{n-1}x^2+(-a_n+b_{n-1})x-b_n=(x^2-6x-12)(P_n(x)-xP_{n-1}(x))}\)

teraz powołując, się na równość wielomianów, musi zachodzić: \(\displaystyle{ P_n(x)-xP_{n-1}(x)=a_{n-1}}\)
i dalej:
\(\displaystyle{ b_n=12a_{n-1}}\)
\(\displaystyle{ a_n=6a_{n-1}+b_{n-1}=6a_{n-1}+12a_{n-2}}\), gdzie \(\displaystyle{ a_1=1}\)
widzimy, że \(\displaystyle{ 2 \cdot 3|a_n}\) oraz \(\displaystyle{ 2 \cdot 3|b_n}\)
załóżmy, że \(\displaystyle{ p>3|a_n,b_n}\) wtedy z \(\displaystyle{ b_n=12a_{n-1}}\) dostajemy \(\displaystyle{ p|a_{n-1}}\), kolejno zatem z \(\displaystyle{ a_n=6a_{n-1}+12a_{n-2}}\), \(\displaystyle{ p|a_{n-2}}\) itd. zatem dostajemy \(\displaystyle{ p|a_2=6}\) - sprzeczność

zatem jedynymi liczbami pierwszymi dzielącymi \(\displaystyle{ a_n}\) i \(\displaystyle{ b_n}\)są \(\displaystyle{ 2}\) i \(\displaystyle{ 3}\)

9. Jak na mój rozum to ten wielomian ma postać:
\(\displaystyle{ (x- \frac{a ^{2} }{2a ^{2} +bc})(x- \frac{b ^{2} }{2b ^{2}+ac })(x- \frac{c ^{2} }{2c ^{2} +ab})}\)

bakala12 pisze:9. Jak na mój rozum to ten wielomian ma postać:
\(\displaystyle{ (x- \frac{a ^{2} }{2a ^{2} +bc})(x- \frac{b ^{2} }{2b ^{2}+ac })(x- \frac{c ^{2} }{2c ^{2} +ab})}\)

Wydaje sie być ok, ale pewnie czemuś ma to służyć \(\displaystyle{ x^3 - (a + b + c)x^2 + (ab + bc + ca)x - abc}\)
Chyba trzeba to co podał bakala12 przedstawić w podobnej postaci

Jak dla mnie to te współczynniki są tylko po to żeby nie wymnażać tych nawiasów.
\(\displaystyle{ (x- \frac{a ^{2} }{2a ^{2}+bc })(x- \frac{b ^{2} }{2b ^{2}+ac })(x- \frac{c^{2} }{2c ^{2}+ab })}\)
Wymnażanie tego "na pałę" nie ma sensu, stosując proste podstawienia także można się zestarzeć mnożąc to. Tutaj musi być jakiś tik, ale niestety ja nie jestem w stanie go znaleźć.