Zależność pochodnych funkcji wielu zmiennych...

Różniczkowalność, pochodna funkcji. Przebieg zmienności. Zadania optymalizacyjne. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku różniczkowego.
beast117
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 24
Rejestracja: 25 lut 2010, o 10:51
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin

Zależność pochodnych funkcji wielu zmiennych...

Post autor: beast117 » 27 cze 2010, o 23:55

Wlasnie przygotowuje sie do egzaminu z teorii z analizy, i mam problem z paroma pytaniami, z gory dziekuje za pomoc
1.Jaka jest zależność między istnieniem pochodnej funkcji wielu zmiennych, a istnieniem pochodnych cząstkowych? Kiedy istnienie pochodnych cząstkowych pociąga za sobą istnienie pochodnej?
2.Analityczna definicja funkcji sin i cos oraz ich własności (w tym analityczna definicja liczby pi)

w drugim pytaniu znalazlem definicje funkcji sin i cos ale nie znam ich wlasnosci
Jeszcze raz z gory dziekuje.

Awatar użytkownika
szw1710
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 18811
Rejestracja: 1 cze 2010, o 22:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Cieszyn
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 3746 razy

Zależność pochodnych funkcji wielu zmiennych...

Post autor: szw1710 » 28 cze 2010, o 18:37

ad 1. Istnienie pochodnej pociąga istnienie pochodnych cząstkowych. Z istnienia pochodnych cząstkowych istnienie pochodnej nie wynika. Nie wynika nawet ciągłość. Jest to zachowanie zupełnie inne niż dla funkcji jednej zmiennej. Jesli dodatkowo założymy ciągłość pochodnych cząstkowych, to stąd już wynika różniczkowalność, tj. istnienie pochodnej. Sztandarowy przykład to funkcja

\(\displaystyle{ f(x,y)=\frac{xy}{x^2+y^2}}\) dla \(\displaystyle{ (x,y)\ne(0,0)}\), \(\displaystyle{ f(0,0)=0.}\)

Ma ona w punkcie \(\displaystyle{ (0,0)}\) obie pochodne cząstkowe (nawet wszystkie pochodne kierunkowe), ale nie jest ciągła, więc tym bardziej nie ma pochodnej (w sensie Frecheta).

ad 2. To przez szeregi potęgowe. Rozwiń sinusa i cosinusa w szereg Maclaurina, to dostaniesz co trzeba.

beast117
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 24
Rejestracja: 25 lut 2010, o 10:51
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin

Zależność pochodnych funkcji wielu zmiennych...

Post autor: beast117 » 30 cze 2010, o 19:13

Wielkie dzieki za pomoc a co do tego drugiego
rozwinalem tak :
\(\displaystyle{ sin x = x - \frac{x^3}{3!}+ \frac{x^5}{5!} - ...}\)
\(\displaystyle{ cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - ...}\)
I te wlasnosci to sa takie ze dla jednych sa parzyste a dla drugich nie parzyste? albo ze na przemian znak sie zmienia? Przepraszam mozliwe ze jakies glupoty pisze z mojej nie wiedzy ;d

Awatar użytkownika
szw1710
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 18811
Rejestracja: 1 cze 2010, o 22:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Cieszyn
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 3746 razy

Zależność pochodnych funkcji wielu zmiennych...

Post autor: szw1710 » 30 cze 2010, o 19:16

No chyba nie o to chodzi. To widać gołym okiem. Ale np. wykaż mając te rozwinięcia, że pochodną sinusa jest cosinus. Tylko za pomocą rozwinięć i różniczkowania szeregów. Tak np. wyobrażałbym sobie odpowiedź na pytanie.

beast117
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 24
Rejestracja: 25 lut 2010, o 10:51
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin

Zależność pochodnych funkcji wielu zmiennych...

Post autor: beast117 » 30 cze 2010, o 23:36

A teraz to rozumiem, jeszcze raz dziekuje bardzo mi to pomogło.

Ein
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1358
Rejestracja: 4 lip 2009, o 13:27
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 222 razy

Zależność pochodnych funkcji wielu zmiennych...

Post autor: Ein » 1 lip 2010, o 01:16

szw1710 pisze:Ale np. wykaż mając te rozwinięcia, że pochodną sinusa jest cosinus. Tylko za pomocą rozwinięć i różniczkowania szeregów..
Tutaj trzeba by co nieco powiedzieć o jednostajnej zbieżności tych szeregów...

Awatar użytkownika
szw1710
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 18811
Rejestracja: 1 cze 2010, o 22:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Cieszyn
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 3746 razy

Zależność pochodnych funkcji wielu zmiennych...

Post autor: szw1710 » 1 lip 2010, o 14:35

Ein pisze:Tutaj trzeba by co nieco powiedzieć o jednostajnej zbieżności tych szeregów...
To się samo rozumie

ODPOWIEDZ