monotoniczności, dlaczego źle?

Wszelkiego rodzaju zadania nie dotyczące funkcji w działach powyżej lub wiążace więcej niż jeden typ funkcji. Ogólne własności. Równania funkcyjne.
Awatar użytkownika
kolorowakredka
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15
Rejestracja: 4 kwie 2010, o 22:22
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Podlaskie
Podziękował: 4 razy

monotoniczności, dlaczego źle?

Post autor: kolorowakredka » 27 cze 2010, o 19:01

Proszę pomóżcie muszę mieć to na środę;(. Czy to jest dobrze a raczej dlaczego to zadanie jest źle rozwiązane?
Zad. Wyznacz monotoniczność i ekstremum funkcji:
f(x)= \frac{ x^{2}-1 }{x ^{2} +1}
Wykonując po kolei punkty:
1. Wyznaczyć dziedzinę tej funkcji.
2. Wyznaczyć jej pochodną.
3. Wyznaczyć dziedzinę pochodnej.
4. Wykorzystać warunek
konieczny.
5. Narysować wykres znaku pochodnej i na podstawie wykresu określić przedział, w których funkcja rośnie i maleje. Na podstawie wykresu wyznaczyć minimum i maksimum tej funkcji.

Mam jeszcze pytanie czy zawsze w takich przypadkach gdy w mianowniku występuje x^{2}+c to dziedziną funkcji są liczby rzeczywiste?
Czy to jest dobrze rozwiązane?
ad 1. dziedzina=liczby rzeczywiste
ad 2. pochodna wynosi \(\displaystyle{ f'(x)= \frac{4x}{(x ^{2} +1) ^{2} }}\)
ad 3. dziedzina pochodnej=dziedzina funkcji
ad 4. W. K. f'(x)=0 <=> \(\displaystyle{ \frac{4x}{(x ^{2} +1) ^{2} }}\)<=>(nie wiem dlaczego) 4x=0 <=> x=0
ad 5. Wykres powinien wyglądać następująco: ramiona do gry, stykać się z osią x w punkcie 0 (coś podobnego do tego http://www.matematyka.za.pl/grafa/parabola.gif )
Monotoniczności: funkcja maleje dla x należącego od - nieskończoności do 0, funkcja rośnie dla x należącego od 0 do + nieskończoności.
Ekstremum funkcji to x=0 <- to minimum.

Szkopuł pojawia się w monotonicznościach. Mianowicie powinno być (tak jest w odpowiedziach), że funkcja maleje dla x należącego od - nieskończoności do 0.

?ntegral
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 382
Rejestracja: 1 cze 2010, o 15:34
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 61 razy

monotoniczności, dlaczego źle?

Post autor: ?ntegral » 27 cze 2010, o 20:10

Kolorowakredko, dlaczego założyłaś drugi temat z tym samym zadaniem? Przecież w wątku 204380.htm ja oraz użytkownik miodzio1988 udzielaliśmy odpowiedzi na zadane przez Ciebie pytania.
Mam jeszcze pytanie czy zawsze w takich przypadkach gdy w mianowniku występuje \(\displaystyle{ x^2+c}\) to dziedziną funkcji są liczby rzeczywiste? Czy to jest dobrze rozwiązane?
Odpowiedzi na pierwsze pytanie udzieliłem we wspomnianym przeze mnie wątku. Zadanie jest rozwiązane poprawnie.


Odnośnie pkt. 4.

\(\displaystyle{ f'(x)=0 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{4x}{(x^2+1)^2}=0}\)

Aby całe wyrażenie po lewej stronie równania było równe 0, licznik ułamka musi wynosić 0 (mianownik nie może się zerować!).

Zatem:

\(\displaystyle{ 4x=0 \quad \Leftrightarrow \quad x=0}\)


Wykres pochodnej funkcji \(\displaystyle{ f}\):

http://www.wolframalpha.com/input/?i=pl ... om+-4+to+4


Jeśli chodzi o monotoniczność, to zmienia się ona wraz ze zmianą znaku pochodnej. W przedziale \(\displaystyle{ x \in (-\infty;0)}\) pochodna przyjmuje wartości ujemne, zaś w przedziale \(\displaystyle{ x \in (0;\infty)}\) wartości dodatnie. Wynika z tego, że funkcja jest w tych przedziałach odpowiednio malejąca i rosnąca.

Awatar użytkownika
kolorowakredka
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15
Rejestracja: 4 kwie 2010, o 22:22
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Podlaskie
Podziękował: 4 razy

monotoniczności, dlaczego źle?

Post autor: kolorowakredka » 27 cze 2010, o 20:38

Przepraszam za zamieszanie ale nie podobały mi się wasze odpowiedzi myślałam, że gdy umieszczę to pytanie w innym temacie to ktoś inny się nim zajmie. Dziękuję i pozdrawiam;):*

?ntegral
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 382
Rejestracja: 1 cze 2010, o 15:34
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 61 razy

monotoniczności, dlaczego źle?

Post autor: ?ntegral » 27 cze 2010, o 20:46

Kolorowakredko, nie wiem co konkretnie Ci się nie podobało, ale jeśli zacytujesz jakiś fragment, jestem skłonny do dyskusji i ewentualnego sprostowania mojej wypowiedzi.

Gdybyś miała jeszcze jakieś wątpliwości, to śmiało pytaj.

Awatar użytkownika
kolorowakredka
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15
Rejestracja: 4 kwie 2010, o 22:22
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Podlaskie
Podziękował: 4 razy

monotoniczności, dlaczego źle?

Post autor: kolorowakredka » 28 cze 2010, o 14:18

Właśnie sam widzisz, nie podoba mi się coś takiego, że muszę zadać kolejne pytanie. Jak narysować ten wykres bez pomocy komputera? Ty mi odpowiesz: Przekształcając wzór. To od razu zadam następne pytanie: Jak go przekształcić?
Mam prośbę aby tym razem odpowiedź była konkretna
Dziękuję i pozdrawiam:*:*:*:*

?ntegral
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 382
Rejestracja: 1 cze 2010, o 15:34
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 61 razy

monotoniczności, dlaczego źle?

Post autor: ?ntegral » 28 cze 2010, o 20:06

Kolorowakredko, co z tego, że musisz zadać kolejne pytanie? To bardzo dobrze, że pytasz.

\(\displaystyle{ g(x)=\frac{4x}{(x^2+1)^2}}\)

Pierwsza metoda narysowania wykresu funkcji \(\displaystyle{ g}\) to zwyczajne podstawianie liczb za \(\displaystyle{ x}\). Otrzymamy w ten sposób kilka punktów, które po połączeniu utworzą wykres. Metoda ta jest czasochłonna i mało dokładna (ale zawsze to jakiś pomysł).

Metoda druga jest nieco bardziej skomplikowana. Na początku należy zauważyć, że funkcja \(\displaystyle{ g}\) jest nieparzysta, w związku z tym jej wykres będzie symetryczny względem środka układu współrzędnych. Wystarczy zatem narysować wykres dla pierwszej ćwiartki układu, a później odbić go przez symetrię względem punktu (0,0). Zawęziliśmy tym samym 'miejsce akcji' naszego zadania do przedziału \(\displaystyle{ (0;\infty)}\). Zwróćmy uwagę, że \(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty} g(x)=0}\). Daje nam to obraz, jak zachowuje się wykres funkcji wraz ze wzrostem argumentów. Liczymy teraz pierwszą pochodną funkcji \(\displaystyle{ g}\) i patrzymy na to jak w rozpatrywanym przedziale zmienia się jej znak, będziemy z tego wnioskować jak zmienia się monotoniczność naszej funkcji. Wstawiając miejsce zerowe pochodnej za argument funkcji \(\displaystyle{ g}\) otrzymamy wartość, jaką przyjmuje nasza funkcja w ekstremum (w rozpatrywanym przedziale będzie to maksimum). Licząc drugą pochodną policzymy punkt przegięcia wykresu. Dysponując tymi wszystkimi informacjami możemy przystąpić do szkicowania wykresu funkcji.

Awatar użytkownika
kolorowakredka
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15
Rejestracja: 4 kwie 2010, o 22:22
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Podlaskie
Podziękował: 4 razy

monotoniczności, dlaczego źle?

Post autor: kolorowakredka » 29 cze 2010, o 10:02

O to mi chodziło. Taka odpowiedź mi odpowiada;). Dziękuję serdecznie:*:*:*:*:*

ODPOWIEDZ