Różniczki z zerówki

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
mlodziak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 30
Rejestracja: 13 sie 2009, o 10:31
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 1 raz

Różniczki z zerówki

Post autor: mlodziak » 27 cze 2010, o 11:17

Witam. Kilka dni temu odbył się egzamin zerowy. Czy byłby ktoś w stanie rozwiązać te 2 zadania?
Wrzucam wszystkie do tego tematu, bo nie chcę ich tak rozrzucać po kilku. Mam nadzieję, że to nie problem.;]

1. \(\displaystyle{ y''+2y'+y= e^{x}+ e^{-x}}\)

2. \(\displaystyle{ \frac{dy}{dx} - \frac{1}{3}ysinx= -y^{4}sinx}\)

Z góry wielkie dzięki.
Ostatnio zmieniony 27 cze 2010, o 11:39 przez lukasz1804, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Część postu usunięta ze względu na brak powiązania z działem, w którym post został umieszczony.

miodzio1988

Różniczki z zerówki

Post autor: miodzio1988 » 27 cze 2010, o 11:32

1. Równanie charakterystyczne
2. Znany typ równania. Powiesz nam jaki?

Trochę pracy Cię czeka jak widać
Ostatnio zmieniony 27 cze 2010, o 11:41 przez lukasz1804, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Część postu usunięta - dotyczyła usuniętego wcześniej fragmentu dyskusji.

mlodziak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 30
Rejestracja: 13 sie 2009, o 10:31
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 1 raz

Różniczki z zerówki

Post autor: mlodziak » 28 cze 2010, o 00:25

Zadanie nr 1

\(\displaystyle{ y''+2y'+y=e^{x}+e^{-x}}\)

Obliczam deltę
4-4=0

Więc:
\(\displaystyle{ y=e^{ r_{0}x }(C_{1}x+C_{2}), gdzie r_{0}= \frac{-b}{2a}}\)

Więc

CORJ
\(\displaystyle{ y=e^{-x}(C_{1}x+C_{2})}\)

Teraz obliczam CSRN, którą przewiduję jako funkcję postaci:
\(\displaystyle{ y=Ae^{x}+Be^{-x}}\)
\(\displaystyle{ y'=Ae^{x}-Be^{-x}}\)
\(\displaystyle{ y''=AE^{x}+Be^{-x}}\)

\(\displaystyle{ Ae^{x}+Be^{-x}+2Ae^{x}-2Be^{-x}+Ae^{x}+Be^{-x}=e^{x}+e^{-x}}\)
\(\displaystyle{ 4A=1}\)
\(\displaystyle{ 0B=1}\)

Może tak wyjść? Raczej nie... Szepnie więc ktoś, gdzie zrobiłem błąd?

Haladdin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 18
Rejestracja: 26 cze 2010, o 17:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska

Różniczki z zerówki

Post autor: Haladdin » 28 cze 2010, o 00:35

\(\displaystyle{ \left( \lambda+1\right)^2 \ czyli \ \lambda_1=\lambda_2=-1}\)

czyli, przy \(\displaystyle{ e^{-t}}\) podnosisz o dwa stopień wielomianu

mlodziak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 30
Rejestracja: 13 sie 2009, o 10:31
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 1 raz

Różniczki z zerówki

Post autor: mlodziak » 28 cze 2010, o 00:40

Szczerze?

Nie skumałem.

Haladdin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 18
Rejestracja: 26 cze 2010, o 17:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska

Różniczki z zerówki

Post autor: Haladdin » 28 cze 2010, o 00:46

U Ciebie dla obu lambdy -1 jest wielomian stopnia zerowego (\(\displaystyle{ A}\)), a powinien być drugiego. Trzeba szukać rozwiązania w postaci \(\displaystyle{ y=Ax^2e^{-x}}\)

mlodziak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 30
Rejestracja: 13 sie 2009, o 10:31
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 1 raz

Różniczki z zerówki

Post autor: mlodziak » 28 cze 2010, o 01:01



Czyli rozpisuję to tak?

\(\displaystyle{ y=Ae^{x}+Bx^{2}e^{-x}}\)
\(\displaystyle{ y'=Ae^{x}-2Bxe^{-x}}\)
\(\displaystyle{ y''=Ae^{x}+2Be^{-x}}\)

\(\displaystyle{ Ae^{x}+2Be^{-x}+2Ae^{x}-4Bxe^{-x}+Ae^{x}+Bx^{2}e^{-x}=e^{x}+e{-x}}\)

czyli

4A=1=>A=1/4
2B=1=>B=1/2
-4B=0
B=0

Podejrzewam, że nie tak, ale innego pomysłu naprawdę nie posiadam.

Haladdin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 18
Rejestracja: 26 cze 2010, o 17:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska

Różniczki z zerówki

Post autor: Haladdin » 28 cze 2010, o 01:05

No, no...pochodne iloczynu się kłaniają

mlodziak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 30
Rejestracja: 13 sie 2009, o 10:31
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 1 raz

Różniczki z zerówki

Post autor: mlodziak » 28 cze 2010, o 01:12

No na pochodnych trochę chorowałem.

\(\displaystyle{ y=Ae^{x}+Bx^{2}e^{-x}}\)
\(\displaystyle{ y'=Ae^{x}+2Bxe^{-x}-Bx^{2}e^{-x}}\)
\(\displaystyle{ y''=Ae^{x}+2Be^{-x}-2Bxe^{-x}-2Bxe^{-x}+Bx^{2}e^{-x}}\)

Teraz się zgadza?

Haladdin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 18
Rejestracja: 26 cze 2010, o 17:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska

Różniczki z zerówki

Post autor: Haladdin » 28 cze 2010, o 01:15

Teraz chyba ok

mlodziak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 30
Rejestracja: 13 sie 2009, o 10:31
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 1 raz

Różniczki z zerówki

Post autor: mlodziak » 28 cze 2010, o 01:25

Czyli:

\(\displaystyle{ y=Ae^{x}+Bx^{2}e^{-x}}\)
\(\displaystyle{ y'=Ae^{x}+2Bxe^{-x}-Bx^{2}e^{-x}}\)
\(\displaystyle{ y''=Ae^{x}+2Be^{-x}-2Bxe^{-x}-2Bxe^{-x}+Bx^{2}e^{-x}}\)

\(\displaystyle{ Ae^{x}+2Be^{-x}-2Bxe^{-x}-2Bxe^{-x}+Bx^{2}e^{-x}+2Ae^{x}+4Bxe^{-x}-2Bx^{2}e^{-x}+Ae^{x}+Bx^{2}e^{-x}=e^{x}+e^{-x}}\)

Więc:
4A=1=>A=1/4
2B=1=>B=1/2
Reszta się zeruje.

I ostateczny wynik:
\(\displaystyle{ y=e^{-x}(C_{1}x+C_{2})+ \frac{1}{4}e^{x}+\frac{1}{2}e^{-x}}\)
?

Haladdin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 18
Rejestracja: 26 cze 2010, o 17:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska

Różniczki z zerówki

Post autor: Haladdin » 28 cze 2010, o 01:29

Popatrz na swoje rozwiązanie, a potem spojrzyj, jakie postulowałeś (rachunki są chyba ok)

mlodziak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 30
Rejestracja: 13 sie 2009, o 10:31
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 1 raz

Różniczki z zerówki

Post autor: mlodziak » 28 cze 2010, o 01:32

Eee, yyy. Godzina późna, jeszcze jestem po całym dniu matmy...
Mózg jedzie już ostatkiem sił...

Znaczy, że dobrze?

Haladdin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 18
Rejestracja: 26 cze 2010, o 17:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska

Różniczki z zerówki

Post autor: Haladdin » 28 cze 2010, o 01:36

No nie do końca. Policzyłeś dobrze. Tylko wyłożyłeś się na przedstawieniu wyniku (a do mety było tak blisko ). Postulowałeś CSRN, jako \(\displaystyle{ Bx^2e^{-x}}\). Skąd więc w wyniku \(\displaystyle{ \frac{1}{2}e^{-x}}\)?

Edit: Pamiętaj tylko, że opuszczenie w Twoim przykładzie \(\displaystyle{ Cx+D}\) zaszło, bo -1 było pierwiastkiem wielomianu charakterystycznego (zawarte zostało w CORJ). Jeśli byłby one inny, to już musiałbyś trzy stałe z tego wyliczać, a nie jedną (czyli Twoje \(\displaystyle{ B}\))
Ostatnio zmieniony 28 cze 2010, o 01:41 przez Haladdin, łącznie zmieniany 1 raz.

mlodziak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 30
Rejestracja: 13 sie 2009, o 10:31
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 1 raz

Różniczki z zerówki

Post autor: mlodziak » 28 cze 2010, o 01:41

O mosz! Racja! Tudzież richtig jakby to powiedział jakiś Deutschland.^^


Czyli ostatecznie:

\(\displaystyle{ y=e^{-x}(C_{1}x+C_{2})+ \frac{1}{4}e^{x}+\frac{1}{2}x^{2}e^{-x}}\)


Jeśli tak, to ogromne dzięki za poświęcony czas.

Jeśli nie, to... czas umierać.

ODPOWIEDZ