Szereg Fouriera

Istnienie i ciągłość funkcji granicznej, jednostajna zbieżność. Zmiana kolejności przejścia granicznego. Różniczkowanie i całkowanie szeregów. Istnienie i zbieżność rozwinięć Taylora, Maclaurina, Fouriera itd.
PQR
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 71
Rejestracja: 19 kwie 2010, o 19:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: WrocLove
Podziękował: 2 razy

Szereg Fouriera

Post autor: PQR » 26 cze 2010, o 20:21

Jak za pomocą rozwinięcia w szereg Fouriera funkcji |sinx| na przedziale (-pi,pi) pokazać, że

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{(-1)^{n+1} }{4n ^{2} -1} = \frac{\pi-2}{4}}\)

(wg moich obliczeń szereg sinusa
\(\displaystyle{ \frac{4}{\pi} +2 \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1+(-1) ^{n} }{1-n ^{2} }cosnx}\))

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

Szereg Fouriera

Post autor: luka52 » 26 cze 2010, o 22:11

Powinno wyjść: \(\displaystyle{ |\sin x| = \frac{2}{\pi } + \frac{2}{\pi} \sum_{n = 2}^{+\infty} \frac{1 + (-1)^n}{n^2 - 1} \cos n x = \frac{2}{\pi } + \frac{2}{\pi} \sum_{k = 1}^{+\infty} \frac{1 + (-1)^{2k}}{(2k)^2 - 1} \cos 2k x}\).
Dalej wystarczy podstawić za \(\displaystyle{ x}\) odpowiednią wartość.

PQR
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 71
Rejestracja: 19 kwie 2010, o 19:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: WrocLove
Podziękował: 2 razy

Szereg Fouriera

Post autor: PQR » 27 cze 2010, o 13:05

Na pewno \(\displaystyle{ a _{0}}\)ma być \(\displaystyle{ \frac{2}{\pi}}\) ? Bo mi tam wychodzi \(\displaystyle{ \frac{-4}{\pi}}\) i nie wiem gdzie mój błąd

\(\displaystyle{ a_{0}= \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} sinx dx= \frac{2}{\pi} (cos\pi-cos0)= \frac{-4}{\pi}}\)

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

Szereg Fouriera

Post autor: luka52 » 27 cze 2010, o 13:30

PQR pisze:Na pewno \(\displaystyle{ a _{0}}\)ma być \(\displaystyle{ \frac{2}{\pi}}\) ?
Nie, tyle ma wynieść \(\displaystyle{ \tfrac{a_0}{2}}\).
Odnośnie Twojego wyniku, to jak całka z funkcji dodatniej może dać wynik ujemny?

PQR
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 71
Rejestracja: 19 kwie 2010, o 19:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: WrocLove
Podziękował: 2 razy

Szereg Fouriera

Post autor: PQR » 27 cze 2010, o 14:21

\(\displaystyle{ cos\pi=-1}\) \(\displaystyle{ cos0=1}\)
\(\displaystyle{ -1-1=-2}\)
\(\displaystyle{ -2*2=4}\)

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

Szereg Fouriera

Post autor: luka52 » 27 cze 2010, o 14:59

\(\displaystyle{ \int \sin x \; \mbox d x = ?}\)

PQR
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 71
Rejestracja: 19 kwie 2010, o 19:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: WrocLove
Podziękował: 2 razy

Szereg Fouriera

Post autor: PQR » 27 cze 2010, o 15:01

-cosx, dobra już sie więcej nie wypowiadam...

ODPOWIEDZ