Zbadać zbieżność i zbieżność bezwzględną szeregu

Własności ciągów i zbieżność, obliczanie granic. Twierdzenia o zbieżności.
apocalyptiq
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 125
Rejestracja: 20 wrz 2008, o 11:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 43 razy

Zbadać zbieżność i zbieżność bezwzględną szeregu

Post autor: apocalyptiq » 25 cze 2010, o 10:57

Zbadać zbieżność i zbieżność bezwzględną szeregu
\(\displaystyle{ \sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n}n}{n\sqrt{n}-1}}\)
Jako że jest to szereg naprzemienny, badamy \(\displaystyle{ a_{n}}\). W nieskończoności dąży do 0, więc jeden warunek spełniony. Z drugim mam problem - czy jest niemalejący. Rozumiem że trzeba dowieść, że \(\displaystyle{ a_{n} \geqslant a_{n+1}}\), ale w jaki sposób to zrobić?
I czym jest ta zbieżność bezwzględna?

Crizz
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 4094
Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 805 razy

Zbadać zbieżność i zbieżność bezwzględną szeregu

Post autor: Crizz » 25 cze 2010, o 11:56

Mamy szereg o wyrazie \(\displaystyle{ a_{n}=\frac{(-1)^{n}n}{n\sqrt{n}-1}}\).

Zaczynamy od zbadania, czy szereg jest bezwzględnie zbieżny, czyli czy zbieżny jest szereg \(\displaystyle{ |a_{n}|}\):

\(\displaystyle{ |a_{n}|=\frac{n}{n\sqrt{n}-1}}\) jest ograniczony z dołu przez \(\displaystyle{ \frac{n}{n\sqrt{n}}=\frac{1}{\sqrt{n}}}\), a ten ostatni szereg jest oczywiście rozbieżny. Szereg \(\displaystyle{ |a_{n}|}\) jest również rozbieżny, czyli wyjściowy szereg na pewno nie jest bezwzględnie zbieżny.

Możemy teraz zbadać przebieg funkcji \(\displaystyle{ f(x)=\frac{x}{x\sqrt{x}-1}}\).
\(\displaystyle{ f'(x)=-\frac{x\sqrt{x}+2}{2(x\sqrt{x}-1)^{2}}}\)
Mianownik jest zawsze nieujemny, zatem znak pochodnej zależy od licznika; widzimy, że pochodna jest zawsze ujemna, czyli rozważany ciąg \(\displaystyle{ |a_{n}|}\) jest malejący.

Ostatecznie, szereg jest zbieżny, ale tylko warunkowo.

apocalyptiq
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 125
Rejestracja: 20 wrz 2008, o 11:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 43 razy

Zbadać zbieżność i zbieżność bezwzględną szeregu

Post autor: apocalyptiq » 26 cze 2010, o 14:30

Hm, skąd wziąłeś tą funkcję \(\displaystyle{ f'(x)}\)?

miodzio1988

Zbadać zbieżność i zbieżność bezwzględną szeregu

Post autor: miodzio1988 » 26 cze 2010, o 14:34

Policzył kolega pochodną funkcji \(\displaystyle{ f(x)}\)

ODPOWIEDZ